标签： 解题思路图

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}} = ?
$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TB
	A1(含有变限积分)
	A2(含有极限)
	A1 --> A11(x 在上下限中)
	A11 --> B1(将 x 视为常数)
	A1 --> A12(t 为积分变量)
	A12 --> B2(将 t 视为变量)
	B1 --> C1(要将常数移动到被积函数外部)
	B2 --> C2(明确变量的取值范围)
	C1 --> D1(进行变量替换)
	C2 --> D1
	D1 --> E1(洛必达运算, 去除积分符号)
	A2 --> E1
	E1 --> F1(舍去更小的无穷小)
	F1 --> G1(解出答案)

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

 graph TB
	A(无理式) --> B(分子有理化)
	B --> C1(保留较大的无穷大)
	B --> C2(舍去较小的无穷小)
	C1 --> D(解出答案)
	C2 --> D

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \big( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \big)^{x} = ?
$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

 graph TB
	A(求极限) --> B(幂指函数)
	A --> C(1 的无穷次幂)
	A --> D(等价无穷小)
	B --> E(规划解题方法)
	C --> E
	D --> E
	E --> F(1 的无穷次幂等于 e)
	E --> G(e 抬起)

一、题目

微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是（ ）

难度评级：

解 题 思 路 简 图

 graph TB
	A(判断方程类型) --> B(二阶非齐次) --> C(确定右端项的类型) --> D(求出特征值)
	D --> E(设出非齐次特解的形式)
	D --> F(设出齐次通解的形式)
	E --> G(确定能确定的系数)
	G --> H(非齐通=齐通+非齐特)
	F --> H

一、题目

求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值 $y(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime \prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$.

难度评级：

解 题 思 路 简 图

 graph TB
	A(判断方程类型) --> B(三阶常系数齐次) --> C(求出特征值) --> D(根据公式确定通解的形式) --> E(代入条件求出待定常数) --> F(写出特解)

一、题目

求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足 $y(1)$ $=$ $-2$ 的特解。

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TB
	A(判断方程类型) --> B(一阶齐次) --> C(构造出 y/x) --> D(代入条件求出待定常数) --> E(写出特解)

一、前言

本文详细阐述了用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法，并通过一些例子强化了对这些方法的掌握。

本文篇幅稍长，初次接触这部分内容的同学一定要放慢阅读脚步，理清思路哦 （￣︶￣）↗　

解 题 思 路 简 图

%%{init: {'theme':'forest'}}%%
graph TB
	A(观察右端项的类型) --写出--> B(特解的一般假设形式) --找到特征方程--> C(求出特征根)
	A--> D([根据右端项和特征根确定所设特解的确切形式])
	C --> D