考研数二真题归档 - 第3页共18页 - 荒原之梦

2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目

已知线性方程组 ${\begin{matrix} a x_{1} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + a x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ a x_{1} + b x_{2} = 2 \end{matrix}$ 有解, 其中 $a, b$ 为常数。

若 $| \begin{array}{lll} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{array} | = 4$ . 则, $| \begin{array}{lll} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0 \end{array} | = ?$

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2023年考研数二第15题解析：积分区间的拆分与合并

一、题目

设连续函数 $f (x)$ 满足: $f (x + 2) - f (x) = x, \int_{0}^{2} f (x) d x = 0$ , 则 $\int_{1}^{3} f (x) d x = ?$

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2023年考研数二第14题解析：曲线一点处的法线

一、题目

曲线 $3 x^{3} = y^{5} + 2 y^{3}$ 在 $x = 1$ 对应点处的法线斜率为（）

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2023年考研数二第13题解析：偏导数的特解

一、题目

设函数 $z = z (x, y)$ 由 $e^{z} + x z = 2 x - y$ 确定, 则 ${\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x} |}_{(1, 1)} = ?$

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2023年考研数二第12题解析：曲线弧长计算、凑微分、挖掘隐含条件

一、题目

曲线 $y = \int_{- \sqrt{3}}^{x} \sqrt{3 - t^{2}} d t$ 的弧长为多少？

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2023年考研数二第11题解析：洛必达运算、麦克劳林公式

一、题目

当 $x \to 0$ 时, 函数 $f (x) = a x + b x^{2} + \ln (1 + x)$ 与 $g (x) = e^{x^{2}} - \cos x$ 是等价无穷小,则 $a b = ?$

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2023年考研数二第10题解析：线性相关、齐次线性方程组

一、题目

已知向量 $α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}), β_{1} = (\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 9 \end{array}), β_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ , 若 $γ$ 既可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表示,也可由 $β_{1}, β_{2}$ 线性表示, 则 $γ = ()$

(A) $k (\begin{array}{l} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}), k \in R$

(C) $k (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), k \in R$

(B) $k (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}), k \in R$

(D) $k (\begin{array}{l} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}), k \in R$

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2023年考研数二第09题解析：二次型的规范型

一、题目

二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = {(x_{1} + x_{2})}^{2} + {(x_{1} + x_{3})}^{2} - 4 {(x_{2} - x_{3})}^{2}$ 的规范形为 ( )

(A) $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$

(C) $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 4 y_{3}^{2}$

(B) $y_{1}^{2} - y_{2}^{2}$

(D) $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

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2023年考研数二第08题解析：伴随矩阵的性质在分块矩阵上的推广

一、题目

设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $M^{*}$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵,则 ${(\begin{array}{ll} A & E \\ O & B \end{array})}^{*} = ()$

(A) $(\begin{array}{cc} | A | B^{*} & - B^{*} A^{*} \\ 0 & A^{*} B^{*} \end{array})$

(C) $(\begin{array}{cc} | B | A^{*} & - B^{*} A^{*} \\ 0 & | A | B^{*} \end{array})$

(B) $(\begin{array}{cc} | A | B^{*} & - A^{*} B^{*} \\ 0 & | B | A^{*} \end{array})$

(D) $(\begin{array}{cc} | B | A^{*} & - A^{*} B^{*} \\ 0 & | A | B^{*} \end{array})$

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2023年考研数二第07题解析：极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系

一、题目

设函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{x}$ , 若 $f (x)$ 没有极值点, 但曲线 $y = f (x)$ 有拐点, 则 $a$ 的取值范围是( )

(A) $[0, 1)$

(C) $[1, 2)$

(B) $[1, + \infty)$

(D) $[2, + \infty)$

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2023年考研数二第06题解析：换元积分、指数函数的求导法则

一、题目

若函数 $f (α) = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x (\ln x)^{α + 1}} d x$ 在 $α = α_{0}$ 处取得最小值, 则 $α_{0} = ?$

A. $- \frac{1}{\ln (\ln 2)}$

C. $\frac{1}{\ln 2}$

B. $- \ln (\ln 2)$

D. $\ln 2$

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2023年考研数二第05题解析：参数方程求导、导数存在性定理

一、题目

设函数 $y = f (x)$ 由 ${\begin{cases} x = 2 t + | t | \\ y = | t | \sin t \end{cases}$ 确定, 则 ( )

(A) $f (x)$ 连续, $f^{'} (0)$ 不存在

(B) $f^{'} (0)$ 不存在, $f (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

(C) $f^{'} (x)$ 连续, $f^{''} (0)$ 不存在

(D) $f^{''} (0)$ 存在, $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

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2023年考研数二第04题解析：二阶常系数微分方程解的性质

一、题目

已知微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ 的解在 $(- \infty, + \infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )

(A) $a < 0, b > 0$

(C) $a = 0, b > 0$

(B) $a > 0, b > 0$

(D) $a = 0, b < 0$

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2023年考研数二第03题解析：数列比较大小

一、题目

设数列 ${x_{n}} ， {y_{n}}$ 满足 $x_{1} = y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = \sin x_{n}, y_{n + 1} = y_{n}^{2}$ , 当 $n \to \infty$ 时 ( )

(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小

(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小

(C) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的等价无穷小

(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小

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2023年考研数二第02题解析：分段函数、导函数的性质

一、题目

函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x + 1) \cos x, x > 0 \end{cases}$ 的原函数为 ( )

(A) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x), x \leq 0 \\ (x + 1) \cos x - \sin x, x > 0 \end{cases}$

(B) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) + 1, x \leq 0 \\ (x + 1) \cos x - \sin x, x > 0 \end{cases}$

(C) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x), x \leq 0 \\ (x + 1) \sin x + \cos x, x > 0 \end{cases}$

(D) $F (x) = {\begin{cases} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x) + 1, x \leq 0 \\ (x + 1) \sin x + \cos x, x > 0 \end{cases}$

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