标签： 高等数学考研真题

一、题目

设 $f(x,y)$ 是连续函数, 则 ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=()$

(A) ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$

(B) ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}f(x,y)\mathrm{d}x$

(C) ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$

(D) ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}f(x,y)\mathrm{d}x$

难度评级：

一、题目

已知函数 $f(x,y)$ $=$ $\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$, 则在点 $(0,0)$ 处

(A) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续, $f(x,y)$ 可微

(B) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续, $f(x,y)$ 不可微

(C) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续, $f(x,y)$ 可微

(D) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续, $f(x,y)$ 不可微

难度评级：

一、题目

已知数列 $\left\{a_n\right\}(a_n\ne 0)$, 若 $\left\{a_n\right\}$ 发散, 则 ( )

难度评级：

一、题目

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y=e^{t^2}\end{array}$ 确定, 则：

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]=()$

难度评级：

一、题目

已知函数 $f(x)=(e^x+1)x^2$, 则 $f^{(5)}(1)=?$

难度评级：

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x^2+y^2-xy=1$, $x^2+y^2-xy=2$ 与直线 $y=\sqrt{3}x$, $y=0$ 围成, 计算 ${\iint }_D\frac{1}{3x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

难度评级：

一、题目

已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\le y\le \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\ge 1\}$,

(1) 求 $\mathrm{D}$ 的面积.

(2) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.

难度评级：

一、题目

求函数 $f(x,y)$ $=$ $x{e}^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$ 的极值.

难度评级：

一、题目

设曲线 $\mathrm{L}:y=y(x)(x>e)$ 经过点 $(e^2,0),\mathrm{L}$ 上任一点 $P(x,y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y(x)$.

(2) 在 $\mathrm{L}$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

难度评级：

一、题目

设连续函数 $f(x)$ 满足: $f(x+2)-f(x)=x,{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$, 则 ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=?$

难度评级：

一、题目

曲线 $3x^3=y^5+2y^3$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为（ ）

难度评级：

一、题目

设函数 $z=z(x,y)$ 由 $e^z+xz=2x-y$ 确定, 则 ${\frac{{\partial }^{2}z}{{\partial }^{2}x}|}_{(1,1)}=?$

难度评级：