标签： 考研数学二

题目

已知连续函数 $f(x)$ 满足：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t=a{x}^2.$$

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$

$(\mathrm{Ⅱ})$ 若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 $1$, 求 $a$ 的值.

继续阅读“2018年考研数二第16题解析：变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理”

题目

求不定积分：

$$\int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x–1}\mathrm{d}x.$$

继续阅读“2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导”

题目

设 $y(x)$ 是区间 $(0,\frac{3}{2})$ 内的可导函数，且 $y(1)=0$. 点 $P$ 是曲线 $l:y=y(x)$ 上的任意一点，$l$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0,Y_p)$, 法线与 $x$ 轴交于点 $(X_p,0)$. 若 $X_p=Y_p$, 求 $l$ 上点的坐标 $(x,y)$ 满足的方程。

继续阅读“2017年考研数二第21题解析：不定积分、分离变量、直线方程”

题目

已知平面区域 $D=$ $(x,y)|x^2+y^2⩽2y$, 计算二重积分 ${\iint }_D(x+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

继续阅读“2017年考研数二第20题解析：二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系”

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)>0$, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x}<0$. 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 方程 $f(x)f^{”}(x)+$ $[f^{‘}(x){]}^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.

继续阅读“2017年考研数二第19题解析：极限、导数、罗尔定理”

题目

求：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n}).$$

继续阅读“2017年考研数二第17题解析：利用定积分的定义将极限求和转定积分”

题目

已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^3+y^3–3x+3y–2=0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.

继续阅读“2017年考研数二第18题解析：导数、函数极值、单调性”

题目

设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y=$ $f(e^x,\cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}$, $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$.

继续阅读“2017年考研数二第16题解析：二阶偏导数、复合函数求导”

题目

求解：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\int }_0^x\sqrt{x–t}{e}^t\mathrm{d}t}{\sqrt{x^3}}.$$

继续阅读“2017年考研数二第15题解析：变限积分、洛必达法则、无穷小”

题目

编号：A2016221

已知函数 $f(x)$ 在 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上连续，在 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x–3\pi }$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上的平均值；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内存在唯一零点.

继续阅读“2016年考研数二第21题解析：积分、变限积分、二重积分、零点”

题目

编号：A2016220

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ $(0⩽x⩽1)$ 与 $\{\begin{array}{c}x={\cos }^{3}t;\\ y={\sin }^{3}t.\end{array}$ $(0⩽t⩽\frac{\pi }{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

继续阅读“2016年考研数二第20题解析：旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分”