考研数学二归档 - 第134页共141页

常用不等式（02-A001）

问题

设

a > b > 0

n

为正整数,则：

选项

[A].

\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b}

[B].

\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}

[C].

\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}

[D].

\sqrt[n]{a} ⩽ \sqrt[n]{b}

[E].

\sqrt[n]{a} ⩾ \sqrt[n]{b}

答案

$\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$

常用不等式（01-A001）

问题

设

a > b > 0

n > 0

, 则：

选项

[A].

a \cdot n < b \cdot n

[B].

a \cdot n > b \cdot n

[C].

a^{n} < b^{n}

[D].

a^{n} > b^{n}

答案

$a^{n} > b^{n}$

因式分解公式： $(a - b)^{3}$ （05-A001）

问题

(a - b)^{3}

=

?

选项

[A].

a^{2} - b^{2} + 2 a b^{2} - 2 a^{2} b

[B].

a^{3} - b^{3} + 2 a b^{2} - 2 a^{2} b

[C].

a^{3} + b^{3} - 3 a^{2} b^{2} - 3 a^{2} b^{2}

[D].

a^{3} - b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2}

[E].

a^{3} + b^{3} - 3 a b - 3 a b

[F].

a^{2} - b^{2} - 3 a b^{2} + 3 a^{2} b

[G].

a^{3} - b^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2}

答案

$a^{3} - b^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2}$

因式分解公式： $(a + b)^{3}$ （04-A001）

问题

(a + b)^{3}

=

?

选项

[A].

a^{2} + b^{2} + 2 a b^{2} + 2 a^{2} b

[B].

a^{3} + b^{3} + 2 a b^{2} + 2 a^{2} b

[C].

a^{3} + b^{3} + 3 a^{2} b^{2} + 3 a^{2} b^{2}

[D].

a^{3} + b^{3} - 3 a b^{2} - 3 a^{2} b

[E].

a^{3} + b^{3} + 3 a b + 3 a b

[F].

a^{2} + b^{2} + 3 a b^{2} + 3 a^{2} b

[G].

a^{3} + b^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2}

答案

$a^{3} + b^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2}$

因式分解公式： $a^{2} - b^{2}$ （03-A001）

问题

a^{2} - b^{2}

=

?

选项

[A].

(a + b) (a - b)

[B].

(a + b) (a + b)

[C].

(a - b) (a - b)

答案

$(a + b) (a - b)$

因式分解公式： $(a - b)^{2}$ （02-A001）

问题

(a - b)^{2}

=

?

选项

[A].

a^{2} + b^{2} - a b

[B].

a^{2} + b^{2} + 2 a b

[C].

a^{2} + b^{2} - 2 a b

[D].

a^{2} + b^{2} + a b

答案

$a^{2} + b^{2} - 2 a b$

因式分解公式： $(a + b)^{2}$ （01-A001）

问题

(a + b)^{2}

=

?

选项

[A].

a^{2} + b^{2} - 2 a b

[B].

a^{2} + b^{2} + a b

[C].

a^{2} + b^{2} - a b

[D].

a^{2} + b^{2} + 2 a b

答案

$a^{2} + b^{2} + 2 a b$

2019年考研数二第17题解析：一阶线性微分方程、旋转体的体积

题目

设函数 $y (x)$ 是微分方程 $y^{‘} - x y = \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y (1) = \sqrt{e}$ 的特解.

$(Ⅰ)$ 求 $y (x)$ ;

$(Ⅱ)$ 设平面区域 $D = (x, y) | 1 ⩽ x ⩽ 2, 0 ⩽ y ⩽ y (x)$ , 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积.

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2019年考研数二第16题解析：待定系数法计算不定积分

题目

求不定积分：

$\int \frac{3 x + 6}{(x - 1)^{2} (x^{2} + x + 1)} d x .$

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2019年考研数二第15题解析：复合函数求导、分段函数、极值、极限

题目

已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2 x}, x > 0 \\ x e^{x} + 1, x ⩽ 0, \end{matrix}$ 求 $f^{‘} (x)$ , 并求 $f (x)$ 的极值.

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2018年考研数二第23题解析：矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵

题目

已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & - a \end{matrix}]$ 可经初等列变换化为矩阵 $B = [\begin{matrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ .

$(Ⅰ)$ 求 $a$ ;

$(Ⅱ)$ 求满足 $A P = B$ 的可逆矩阵 $P$ .

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2018年考研数二第22题解析：二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型

题目

设实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $(x_{1} - x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{1} + a x_{3})^{2}$ , 其中 $a$ 是参数.

$(Ⅰ)$ 求 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ 的解;

$(Ⅱ)$ 求 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 的规范型.

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2018年考研数二第21题解析：数列极限、数学归纳法、拉格朗日中值定理

题目

设数列 $x_{n}$ 满足： $x_{1} > 0$ , $x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ . 证明 $x_{n}$ 收敛，并求 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ .

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2018年考研数二第20题解析：积分、微分、直线方程

题目

已知曲线 $L : y = \frac{4}{9} x^{2}$ $(x ⩾ 0)$ , 点 $O (0, 0)$ , 点 $A (0, 1)$ . 设 $P$ 是 $L$ 上的动点, $S$ 是直线 $O A$ 与直线 $A P$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3, 4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$ , 求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.