标签： 考研数一

一、前言

一阶线性微分方程的求解公式一般都是用不定积分表示的，虽然这样的表达形式在很多情况下都适用，但在某些特殊情况下，我们则需要将公式中的部分不定积分更改为变限积分.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们深入剖析一下将一阶线性微分方程中的部分不定积分写成变限积分的用途和原理，以及注意事项。

继续阅读“在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分”

一、前言

在「荒原之梦」的文章《通过分类讨论分析函数乘积平移的性质》中，我们使用传统数学中符号推理的方式，研究了下面这个问题：

已知，函数 $\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x+k)$, 那么，当函数 $f(x)$ 满足什么条件的时候，函数 $\mathrm{Z}_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)$ 实际上可以看作是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 平移得到的呢？并且函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 向哪个方向平移了多少个单位得到了函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ ?

在本文中，「荒原之梦」将对上面的问题进一步深入探讨，并用「荒原之梦」独创的图形推理的方式，研究以下三组函数的平移变换性质：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{No.1} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x) \\
\mathrm{Z}_{2}(x) = f(x) \cdot g(x + k)
\end{cases} \\ \\
\mathbf{No.2} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{3}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \\
\mathrm{Z}_{4}(x) = f(x) \cdot g(x+k) \cdot h(x+l)
\end{cases} \\ \\
\mathbf{No.3} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{5}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \\
\mathrm{Z}_{6}(x) = f(x) \cdot g(x+k) \cdot h(x-m)
\end{cases}
\end{aligned}
$$

其中，$k > 0$, $l > 0$, $m > 0$.

在本文中，我们将基于「荒原之梦」定义的“矢量乘法模型”这一工具，通过绘图的方式，直观地说明，当我们把函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ 看作是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴左右平移得到的时候，函数 $f(x)$, $g(x)$ 和 $h(x)$ 需要具有什么样的性质，以及函数 $\mathrm{Z}_{i}(x)$（其中，$i$ $=$ $1,2,3,4,5,6$）左右平移的距离与函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的左右平移距离之间具有什么样的关系。

继续阅读“基于矢量乘法模型分析函数乘积平移的性质”

一、前言

在「荒原之梦」的《两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析》这篇文章中，我们分析了当函数 $Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, $Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x – k)$ 时，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 需要满足什么条件才可以使得 $Z_{1}(x) = Z_{2}(x)$.

在本文中，我们则要回答下面这个问题：

已知，函数 $Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x+k)$, 那么，当函数 $f(x)$ 满足什么条件的时候，函数 $Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)$ 实际上可以看作是由函数 $Z_{1}(x)$ 平移得到的呢？并且函数 $Z_{1}(x)$ 向哪个方向平移了多少个单位得到了函数 $Z_{2}(x)$ ?

对于上面的问题，我们不考虑函数定义域的限制.

二、正文

首先，根据前面的描述，我们知道：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x) \\
& Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)
\end{aligned}
} \tag{1}
$$

那么，假设函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向左平移 $h$ 个单位得到的（可以通过 $h$ 的正负反映向左或者向右不同的平移方向），则根据问题中的描述，可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
Z_{2}(x) = Z_{1}(x+h) } \tag{2}
$$

于是，结合 $(1)$ 式与 $(2)$ 式，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x) \cdot g(x+k) = f(x+h) \cdot g(x+h)
} \tag{3}
$$

若要使上面的 $(3)$ 式成立，需要 $f(x)$ 为周期函数，论述如下——

若函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$, 且 $h = nT$（$n$ 为整数），则：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x+h) = f(x+nT) = f(x)
} \tag{4}
$$

此时，上面的 $(3)$ 式可以写成：

$$
\begin{align}
& f(x) \cdot g(x+k) = f(x) \cdot g(x+h) \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ g(x+k) = g(x+h) } \tag{5}
\end{align}
$$

若要使得上面的 $(5)$ 式成立，则需要有：

$$
k = h
$$

因此，结论为：当 $f(x)$ 为周期函数时——

若 $k > 0$, 且 $l > 0$, 则函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向左平移 $k$ 个单位得到的；类似的，若 $k < 0$, 且 $l < 0$, 则函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向右平移 $|k|$ 个单位得到的.

当然，常数函数也是一个特殊的周期函数，所以，当 $f(x)$ 为常数函数的时候，上面的结论也成立.

拓展资料

[1]. 基于矢量乘法模型分析函数乘积平移的性质
[2]. 在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分

---

一、题目

利用代换 $x = \cos t$ $(0 < t < \pi)$ 将原微分方程 $(1-x^{2})y^{\prime \prime} – xy^{\prime} +y = 0$ 化简，并求出该微分方程满足 $y(0) = 1$, $y^{\prime}(0) = 2$ 的特解.

Tip

拓展 1：《通过代换简化微分方程：函数代换》
拓展 2：《一点处函数值的多种表示形式》

zhaokaifeng.com

继续阅读“通过代换简化微分方程：自变量代换”

一、前言

一点处的函数值有多种等价的表示形式，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们做一个总结。

继续阅读“一点处函数值的多种表示形式”

一、题目

利用代换 $y$ $=$ $\frac{u}{\cos x}$ 将原方程 $y ^{\prime \prime} \cos x – 2y ^{\prime} \sin x + 3y \cos x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 化简，并求出原方程的通解 $y(x)$.

继续阅读“通过代换简化微分方程：函数代换”

一、前言

已知：

$$
\begin{aligned}
Z_{1}(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ \\
Z_{2}(x) & = f(x) \cdot g(x – k)
\end{aligned}
$$

其中，$x$ 为函数 $Z_{1}$, $Z_{2}$, $f$ 和 $g$ 的自变量，$k$ 为任意实数.

从上面的式子可知，函数 $g(x – k)$ 是函数 $g(x)$ 沿着坐标轴的 $X$ 轴向左或者向右平移 $k$ 个单位的结果.

那么，在什么条件下，函数 $Z_{1}(x)$ 和函数 $Z_{2}(x)$ 会相等呢？

继续阅读“两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析”

一、题目

继续阅读“由变限积分得来的微分方程一般存在隐含的初值”

题目

一、题目

设 $F(x) = f(x) g(x)$，其中函数 $f(x)$, $g(x)$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内满足以下条件：

$\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，$\textcolor{yellow}{f(0) = 0}$，$\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$.

请解答下面的问题：

(Ⅰ) 求 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程；

(Ⅱ) 求出 $F(x)$ 的表达式.

二、解析

第（Ⅰ）问

对 $F(x) = f(x)g(x)$ 求导，得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
F ^{\prime} (x)=f ^{\prime} (x)g(x) + f(x)g ^{\prime} (x)
} \tag{1}
$$

又由题可知 $\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，且 $\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$, 所以，上面的 $(1)$ 式可转化为：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ F ^{\prime} (x) } & = g^{2}(x) + f^{2}(x) \\ \\
& =[f(x)+g(x)]^{2}-2f(x)g(x) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} – 2F(x) }
\end{aligned}
$$

于是可知，函数 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程为：

$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$

又由题目已知条件 $\textcolor{yellow}{ f(0) = 0 }$ 可知，该一阶微分方程得初始条件为：

$$
F(0) = f(0)g(0) = 0
$$

事实上，这里求出来得一阶微分方程是一个一阶线性微分方程。

第（Ⅱ）问

根据第（Ⅰ）问，我们得到了下面这个一阶微分方程：

$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$

那么，如果要将 $(2)$ 式中的 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x)$ 凑成 $f(x) F(x)$ 的形式，则 $f(x)$ 应该是多少呢？

观察可知，如果对 $f(x) F(x)$ 进行求导，则有：

$$
\textcolor{orange}{ \left[ f(x) F(x) \right] ^{\prime} = f(x) F ^{\prime} (x) + f ^{\prime} (x) F(x) } \tag{3}
$$

很显然，如果要根据上面的 $(3)$ 式来凑 $(2)$ 式，那么，就需要有：

$$
\textcolor{magenta}{ f ^{\prime} (x) = 2f(x) } \tag{4}
$$

在我们常见的函数中，只有底数为 $\mathrm{e}$ 的幂函数容易符合上面 $(4)$ 式的性质，例如：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime} = k \mathrm{e}^{kx} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime \prime} = k \cdot k \mathrm{e}^{kx}
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime} = 2 \mathrm{e}^{2x} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime \prime} = 2 \cdot 2 \mathrm{e}^{2x}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

所以，如果我们给 $F ^{\prime} (x) + 2F(x)$ 的每一项都乘上一个 $\mathrm{e}^{2x}$, 就会得到：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ F ^{\prime} (x) + 2F(x) \right] \\ \\
= \ & \mathrm{e}^{2x} F ^{\prime} (x) + 2 \mathrm{e}^{2x} F(x) \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{ \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} }
\end{aligned}
$$

既然上面的式子中出现了原函数 $F(x)$, 而且是一个带有求导符号的式子，我们就很容易进行积分运算写出原函数了，于是，我们在 $(2)$ 式的等号两端同时乘以 $\mathrm{e}^{2x}$, 得：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ \textcolor{springgreen}{F ^{\prime} (x) + 2F(x)} \right] = \mathrm{e}^{2x} \cdot \textcolor{springgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} = 4 \mathrm{e}^{4x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} \mathrm{~d} x = 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \mathrm{e}^{4x} + C \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & F(x) = \frac{\mathrm{e}^{4x} + C}{\mathrm{e}^{2x}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ F(x) = \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} }
\end{aligned}
$$

将 $F(0) = 0$ 代入上式，得：

$$
1 + C = 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{ C = -1 }
$$

综上可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
F(x) = \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
}
$$

当然，直接使用一阶线性微分方程的求解公式，也可以求解出 $F(x)$ 的表达式：

由前面的 $(2)$ 式，即 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}$ 可得：

$$
\begin{aligned}
F(x) = & \ \left[ 4 \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{\int 2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{- \int 2 \mathrm{~d} x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{2x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \mathrm{e}^{4x} + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
\leadsto & \ \textcolor{gray}{F(0) = 0} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
\end{aligned}
$$

---

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x}}{x^{2} – x \ln (1+x)} = ?
$$

继续阅读“配平分子分母的时候，可以直接用具体的极限值”

一、前言

在高等数学中，我们会用到“极限存在”和“极限不存在”这样的表述。那么：

1. 等于零属于极限存在的范畴吗？
2. 趋于零属于极限存在的范畴吗？
3. 趋于无穷小属于极限存在的范畴吗？
4. 趋于无穷大属于极限存在的范畴吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将针对上面的问题逐一解答。

继续阅读“什么叫极限存在？什么叫极限不存在？”

逆复合运算

我们知道，如果将 $g \left( x \right) = x^{2} + 16$ 代入到函数 $f \left( x \right)$ 中，就得到了复合函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$.

如果要给函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$ 换一个表达上的形式，则可以写成：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left( x^{2} + 1 \right)
}
$$

上面的过程是将函数 $f(x)$ 变成函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$, 我们称之为“ 复 合 运 算 ”；如果是将函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$ 变成函数 $f \left( x \right)$, 就是本文所说的“ 逆 复 合 运 算 ”。

在本文中，我们讨论的重点是，在对形如 “$f \left( x^{2} + 1 \right)$” 这样的复合函数进行逆复合运算的时候，什么情况下适合用 换 元 法 ，什么情况下不适合用 换 元 法 。

继续阅读“做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？”

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ln (x + \sqrt{1+x^{2}})} – \frac{1}{\ln (1+x)} \right) \\ \\
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{\sin^{2} x} \right)
\end{aligned}
$$

继续阅读“要计算 $\infty-\infty$ 型未定式，一般要先转为 $\infty / \infty$ 或 $0/0$ 型未定式”

一、题目

继续阅读“容易想的思路不容易做，容易做的思路不容易想”