标签： 线性代数练习题

一、题目

下列行列式中, 行列式的值不等于 $24$ 的是哪个？

难度评级：

继续阅读“副对角线不全为零的四阶行列式怎么求？”

一、题目

已知，行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和等于多少？

难度评级：

继续阅读“对代数余子式之和的求解可以转换为对行列式的求解”

一、题目

已知，多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^{4}$ 与 $x^{3}$ 的系数依次为：

(A) $-1,-1$
(B) $1,-1$
(C) $-1,1$
(D) 1,1

难度评级：

继续阅读“这个四阶行列式千万不要展开求解”

题目 01

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“线性相关的向量组成的行列式一定等于零”

一、题目

已知 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

难度评级：

继续阅读“当一个矩阵和不可逆矩阵相乘，怎么求解这个未知矩阵？”

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$ 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1)^{\mathrm{\top}}, A \boldsymbol{\alpha}_{2}=$ $(-1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,-4)^{\mathrm{\top}}$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

难度评级：

继续阅读“做这道题不需要事先知道待求解的矩阵是几行几列”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关列向量，请问：

$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right| \neq 0$ 一定成立吗？

难度评级：

继续阅读“你会拆分这种行列式吗？”

一、题目

已知：

$$
|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & -5 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 5\end{array}\right|
$$

则：

$$
A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?
$$

难度评级：

继续阅读“求代数余子式之和通常可以转化为求某行列式的值”

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“解题的时候一定要穷尽所有可能的答案”

一、题目

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足对任意 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$. 请求解以下两个问题：
[1]. 求 $A$;

[2]. 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$.

难度评级：

继续阅读“这道题中的矩阵虽然很“宽”，但其实是一个单列矩阵”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则伴随矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{*}=?$

难度评级：

继续阅读“求解分块矩阵的伴随矩阵”

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形怎么写？

难度评级：

继续阅读“计算特征值的方法：确保每步都对，坚持计算到底”

一、题目

已知，线性方程组 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解，则下列结论中正确的是哪个？

A. $r(B, \beta)=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1$

C. $r\left[B^{\mathrm{\top}}(B, \beta)\right]>r\left(B^{\mathrm{\top}} B\right)$

D. $r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]$

难度评级：

继续阅读“做了这道题，你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼”

一、题目

行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=?$

难度评级：

继续阅读“这个行列式没有什么计算规律：对于四阶的行列式计算，直接尝试降阶即可”