变限积分也是一种特殊的定积分:能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算 一、题目 已知 f(x) 有连续的一阶导数,f(0)=0, f(a)=1, F(x)=∫0xf(t)f′(2a−t)dt, 则 F(2a)−2F(a)=? (A)2 (B)0 (C)1 (D)−1 难度评级: 继续阅读“变限积分也是一种特殊的定积分:能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算”
解题不一定要单打独斗:单式问题变双式问题 一、题目 已知 f(x) 为连续函数,且 ∫0π2f(xcosx)cosx dx=A, 则 ∫0π2f(xcosx)xsinx dx=? (A)0 (B)A (C)−A (D)2A 难度评级: 继续阅读“解题不一定要单打独斗:单式问题变双式问题”
处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算,还可以尝试积分运算 一、题目 已知函数 g(x) 在 (0,+∞) 连续,若令: F(x)=∫1x[g(t2+x2t2)−g(t+x2t)]dtt 则 F(x) 在 [1,+∞) 上为: 单调升(A)单调升 单调降(B)单调降 常数(C)常数 难度评级: 继续阅读“处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算,还可以尝试积分运算”
与积分变量无关的变量都视作常数处理 一、题目 已知 f(x) 为已知的连续函数, t>0,s>0 均与积分变量 x 无关, 则积分 ∫0sttf(tsx)dx 的值与 t 和 s 都有关吗? 难度评级: 继续阅读“与积分变量无关的变量都视作常数处理”
在一重积分中:只有积分变量可以被当作变量处理,其他“变量”都要视作常数 一、题目 已知函数 f(x) 在 [−a,a] 上连续,且 a>0, g(x)=∫−aa|x−t|f(t)dt, 则在 [−a,a] 上是偶函数还是奇函数? 难度评级: 继续阅读“在一重积分中:只有积分变量可以被当作变量处理,其他“变量”都要视作常数”
通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性 一、题目 已知 f(u) 为连续的偶函数,a 是常数,则以下式子的奇偶性如何: 第 1 个式子: ∫0x[∫autf(t) dt] du 第 2 个式子: ∫0x[∫auf(t) dt] du 第 3 个式子: ∫ax[∫0utf(t) dt] du 第 4 个式子: ∫ax[∫0uf(t) dt] du 难度评级: 继续阅读“通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性”
嵌套变限积分增强版:内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量 一、题目 已知函数 f(x) 连续,且 ∫12f(x)dx = 1, F(t) = ∫1t[f(y)∫ytf(x)dx]dy, 则 F′(2)=? 注意:本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算,并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。 难度评级: 继续阅读“嵌套变限积分增强版:内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量”
不是所有一阶导等于零的点都是极值点:也可能是拐点(函数凹凸性发生改变的点) 一、题目 设 F(x) = ∫0x(x−2t)f(x−t)dt,f(x) 可导且 f′(x) < 0. 则可以得出关于函数 F(x) 的极值和凹凸性上的哪些结论? 难度评级: 继续阅读“不是所有一阶导等于零的点都是极值点:也可能是拐点(函数凹凸性发生改变的点)”
复合函数二阶导的题目:明确谁是谁的函数,谁是真自变量,谁是中间变量 一、题目 令 x=et, 则,方程 ax2d2y dx2+bxdy dx+cy=0 可以转换为什么? 难度评级: 继续阅读“复合函数二阶导的题目:明确谁是谁的函数,谁是真自变量,谁是中间变量”
二重嵌套变限积分的求导:积分时由内向外进行,求导时由外向内进行 一、题目 已知 F(x)=∫0x(∫0y2sint1+t2 dt)dy, 则 F′′(x)=? 难度评级: 继续阅读“二重嵌套变限积分的求导:积分时由内向外进行,求导时由外向内进行”
当变限积分中出现自变量和它的函数时,仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可 一、题目 已知函数 y=y(x) 由方程 x−y=∫1x+ysin2t dt 确定, 则 dy dx=? 难度评级: 继续阅读“当变限积分中出现自变量和它的函数时,仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可”
参数方程求导:在一个等式的两个变量中,任意一个变量都可以看作另一个变量的函数 一、题目 已知: {ex=3t2+2πt+1,tsiny=y−π2, 其中,t⩾0. 则 dy dx|x=0 = ? 难度评级: 继续阅读“参数方程求导:在一个等式的两个变量中,任意一个变量都可以看作另一个变量的函数”
反函数的导数等于其原函数导数的倒数 一、题目 已知函数 y = ∫02xet2 dt + 1, 则其反函数 x=φ(y) 的导数 dx dy = ? 难度评级: 继续阅读“反函数的导数等于其原函数导数的倒数”
对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形 一、题目 已知函数 f(x)=(sinx)cosx, x∈(0,π2), 则 f′(x) = ? 难度评级: 继续阅读“对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形”