已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ $=$ $1$, $F(t)$ $=$ $\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime}(2) = ?$
注意：本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算，并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。
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继续阅读“嵌套变限积分增强版：内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量”设 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{d} t, f(x)$ 可导且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论？
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继续阅读“不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）”令 $x=\mathrm{e}^{t}$, 则，方程 $a x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+b x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+c y=0$ 可以转换为什么？
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继续阅读“复合函数二阶导的题目：明确谁是谁的函数，谁是真自变量，谁是中间变量”已知 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{y^{2}} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime \prime}(x)= ?$
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继续阅读“二重嵌套变限积分的求导：积分时由内向外进行，求导时由外向内进行”已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x-y=\int_{1}^{x+y} \sin ^{2} t \mathrm{~d} t$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = ?$
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继续阅读“当变限积分中出现自变量和它的函数时，仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可”已知：
$$
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1, \\ t \sin y=y-\frac{\pi}{2}, \end{array}\right.
$$
其中，$t \geqslant 0$.
则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ $=$ $?$
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继续阅读“参数方程求导：在一个等式的两个变量中，任意一个变量都可以看作另一个变量的函数”已知函数 $y$ $=$ $\int_{0}^{2 x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ $+$ $1$, 则其反函数 $x=\varphi(y)$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}$ $=$ $?$
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继续阅读“反函数的导数等于其原函数导数的倒数”已知函数 $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$, $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$
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继续阅读“对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形”已知函数 $f(x)$ 连续且可微，且 $f^{\prime}(0)=1$, $\varphi(x)=\ln (1+2 x)$, 则 $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f[\varphi(x)]\right)_{x=0}$ $=$ $?$
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继续阅读“复合函数求导的一个简单例题”已知：
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\arctan x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.
$$
则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$
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继续阅读“求解一点处的导数时，不一定要用定义法”$$
I = \int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{d} \theta = ?
$$
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继续阅读“求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性”若函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$, $x > 0$, 则 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ $=$ $?$
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继续阅读“对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变”已知函数 $f(x)$ $=$ $3 x^{2}+A x^{-3}$ $(x>0)$, 且 $A$ 为正的常数, 则 $A$ 至少为多少时, 有 $f(x) \geqslant 20$ $(x>0)$.
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继续阅读“时刻牢记：可导函数的驻点对应着其极值点”函数 $f(x, y)$ $=$ $1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积是多少？
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继续阅读“判断二元函数单条件极值的一道基础题”