变限积分也是一种特殊的定积分:能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x) 有连续的一阶导数,f(0)=0, f(a)=1, F(x)=0xf(t)f(2at)dt, 则 F(2a)2F(a)=?

(A)2

(B)0

(C)1

(D)1

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处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算,还可以尝试积分运算

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 g(x)(0,+) 连续,若令:

F(x)=1x[g(t2+x2t2)g(t+x2t)]dtt

F(x)[1,+) 上为:

(A)

(B)

(C)

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在一重积分中:只有积分变量可以被当作变量处理,其他“变量”都要视作常数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x)[a,a] 上连续,且 a>0, g(x)=aa|xt|f(t)dt, 则在 [a,a] 上是偶函数还是奇函数?

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通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(u) 为连续的偶函数,a 是常数,则以下式子的奇偶性如何:

第 1 个式子:

0x[autf(t) dt] du

第 2 个式子:

0x[auf(t) dt] du

第 3 个式子:

ax[0utf(t) dt] du

第 4 个式子:

ax[0uf(t) dt] du

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嵌套变限积分增强版:内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x) 连续,且 12f(x)dx = 1, F(t) = 1t[f(y)ytf(x)dx]dy, 则 F(2)=?

注意:本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算,并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。

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不是所有一阶导等于零的点都是极值点:也可能是拐点(函数凹凸性发生改变的点)

一、题目题目 - 荒原之梦

F(x) = 0x(x2t)f(xt)dt,f(x) 可导且 f(x) < 0. 则可以得出关于函数 F(x) 的极值和凹凸性上的哪些结论?

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