当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 线性相关时,使等式 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$
成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k$, 是
(A) 某些全不为 0 的常数
(B) 任意一组不全为 0 的常数
(C) 唯-一组不全为 0 的常数
(D) 无穷多组特定的不全为 0 的常数
难度评级：
继续阅读“使线性无关的向量组和等于零的系数有无数组”已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (2) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (3) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$;
(5) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$
难度评级：
继续阅读“下面哪些矩阵是对称的？”已知 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{X}=?$
难度评级：
继续阅读“矩阵乘法和求逆运算都在这道题里了”已知 $A, B$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下错误的是哪个？
(A) $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n}\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{n} \\ \boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$
难度评级：
继续阅读“分块矩阵的逆运算和次方运算怎么算？”矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为：
(A) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & -a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & -a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$
难度评级：
继续阅读“在选择题中求解伴随矩阵的两种常用方法”已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, 则下列命题中正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \textcolor{orangered}{ \Leftrightarrow } \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$
(B) 如 $A B=O$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
(C) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
(D) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$
难度评级：
继续阅读“注意命题表述的区别：“则”是单向的，“等价”是双向的”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个？
(A) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{E}$
(B) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
(C) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$
(D) 如果 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
难度评级：
继续阅读“矩阵乘以其转置矩阵不改变秩的大小”已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下运算正确的是哪个？
(A) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$
(B) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$
(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$
(D) $(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$
难度评级：
继续阅读“数字的运算规律不能简单的套用到矩阵上”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$, $\Lambda_{2}$ 都是 $n$ 阶对角矩阵, 在下列运算中, 交换律一定成立的是哪个或者哪些？
(1) $A A^{*}=A^{*} A$
(2) $\Lambda_{1} \Lambda_{2}=\Lambda_{2} \Lambda_{1}$
(3) $A^{m} A^{t}=A^{t} A^{m}$
(4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$
(5) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{A}$
(6) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$
难度评级：
继续阅读“你知道哪些矩阵运算满足交换律吗？”已知 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{ AJ } = ?$
难度评级：
继续阅读“抽象矩阵空白的地方默认都是元素 “0””已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=?$
难度评级：
继续阅读“行列式的数乘和次幂各自有什么运算规律？”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{A^{*}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则 $|A^{*}| = ?$
难度评级：
继续阅读“伴随矩阵和原矩阵有什么关系？”已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 均为四维列向量, $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right|=a$, $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|=b$, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}+2 \boldsymbol{\beta}_{2}\right|=?$
难度评级：
继续阅读“交换一次行或者列的位置，行列式的值就要变一次正负号”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵, 则下列行列式中等于 $|\boldsymbol{A}|$ 的是哪个？
(A) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$
(B) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$
(C) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$
(D) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$
难度评级：
继续阅读“加加减减之后，矩阵 A 还是原来的“自己”吗？”已知，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为三维列向量,矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$, 若行列式 $|\boldsymbol{A}|=2$, 则行列式 $|\boldsymbol{B}|=?$
难度评级：
继续阅读“这里的矩阵 B 可以由矩阵 A 变过来，你看出来了吗？”