线性代数基础归档 - 第20页共20页

问题

当行列式中某两行或两列元素成比例时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式等于

0

[B]. 该行列式不等于

1

[C]. 该行列式不等于

0

[D]. 该行列式等于

1

答案

该行列式等于 $0$

问题

当行列式中某两行或两列元素相同时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式不等于

0

[B]. 该行列式等于

1

[C]. 该行列式等于

0

[D]. 该行列式不等于

1

答案

该行列式等于 $0$

问题

当行列式中某一行或者某一列的元素全为

0

的时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式不等于

1

[B]. 该行列式不等于

0

[C]. 该行列式等于

1

[D]. 该行列式等于

0

答案

该行列式等于 $0$

问题

如果，行列式中某一行或者某一列的元素可以写成两数之和的形式，如：

$| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ .

则，根据行列式的性质，可以对上面的行列式做什么样的转换？

选项

[A].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} \frac{1}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

+

| \begin{array}{lll} \frac{1}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{b_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

[B].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

\times

| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

[C].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

-

| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

[D].

| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

=

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

+

| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |

答案

$| \begin{array}{lll} a_{11} + b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ $=$ $| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ $+$ $| \begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$

常数公因子 $k$ 在行列式中的处理方式（C001）

问题

若行列式的某行或列有公因子

k

, 则以下对该公因子的处理方式中，正确的是哪个？

选项

[A].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

- k

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[B].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

k^{n}

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[C].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

\frac{1}{k}

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

[D].

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

=

k

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

答案

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $=$ $k$ $| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

行列式与转置行列式之间的关系（C001）

问题

已知，

D

为行列式，

D^{T}

为该行列式的转置行列式。

则， $D$ 与 $D^{T}$ 之间的关系是什么？

选项

[A].

D

=

- D^{T}

[B].

D

=

D^{T}

[C].

D

=

2 D^{T}

[D].

D

\neq

D^{T}

答案

$D$ $=$ $D^{T}$

标签：线性代数基础

行列式中某两行或两列元素成比例时的性质（C001）

问题

选项

行列式中某两行或两列元素相同时的性质（C001）

问题

选项

行列式中某一行或列元素全为零时的性质（C001）

问题

选项

行列式的可拆分性（C001）

问题

选项

常数公因子 $k$ 在行列式中的处理方式（C001）

问题

选项

行列式与转置行列式之间的关系（C001）

问题

选项