一、题目
已知，积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成，则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要”如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值
一、题目
已知，积分区域 $D=\{ (x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2} \}$, 则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值”无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值
一、题目
已知，$f(x, y)$ 为连续函数，且 $f(x, y)$ $=$ $\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$, 则 $f(x, y)=?$
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继续阅读“无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值”当二重积分的被积函数有根号有平方项的时候就可以常使用极坐标系求解
一、题目
已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=?$
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虽然本题中的积分区域不是圆形，但是仍然可以像这道题一样转换到极坐标系求解。
继续阅读“当二重积分的被积函数有根号有平方项的时候就可以常使用极坐标系求解”当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标：当这个圆形区域的位置并不标准时，可以考虑平移代换
一、题目
已知，$D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$, 则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=?$
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继续阅读“当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标：当这个圆形区域的位置并不标准时，可以考虑平移代换”无穷项求和的解题方法：夹逼定理或者定积分的定义
一、题目
已知：
$$
I =
$$
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)
$$
则 $I = ?$
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继续阅读“无穷项求和的解题方法：夹逼定理或者定积分的定义”二重积分先定积分区域：但二重积分的值可不是积分区域的面积
一、题目
$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=?
$$
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继续阅读“二重积分先定积分区域：但二重积分的值可不是积分区域的面积”在改变量无穷小的情况下，函数的增量除以自变量的增量就等于一点处的导数
一、题目
已知，$y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满 足 $\Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$, 其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小。又 $y(0)=1$, 则 $y(x)=?$
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继续阅读“在改变量无穷小的情况下，函数的增量除以自变量的增量就等于一点处的导数”有时候 y(x) 也是个复合函数：是不是复合函数主要看对谁求导
一、题目
已知，$y=y(x)$ 二阶可导，且 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}$ $(\beta>0)$, 若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$, $3)$, 则 $\beta=?$
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继续阅读“有时候 y(x) 也是个复合函数：是不是复合函数主要看对谁求导”连续函数在一点处的极限值就是该函数在该点处的函数值
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程是什么？
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继续阅读“连续函数在一点处的极限值就是该函数在该点处的函数值”这个带根号的反常积分题目不管用哪个方法都绕不开三角函数
一、题目
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=?
$$
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继续阅读“这个带根号的反常积分题目不管用哪个方法都绕不开三角函数”反常积分是否收敛不能由被积函数是否有极限判出
一、题目
已知，$I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$, 则 $a=?$, $b=?$
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继续阅读“反常积分是否收敛不能由被积函数是否有极限判出”计算定积分的神奇武器：区间再现公式（附若干例题）
一、前言 
区间再现的强大之处在于，可以在【不改变】原有积分的【积分区间】的基础上，实现对被积函数的变形转化——这实际上就是利用原有被积函数的对称性，实现了【平移】。
有些时候，当我们对一个定积分题目无从下手时，试试区间再现，可能会有意想不到的效果。
总的来说，就是当我们要求解 $I = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 时，通过变形将 $I$ 转换为 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{~d} x$ 的形式，这样一来就有：
$$
I = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] \mathrm{~d} x
$$
不能用公式也不能降阶的微分方程怎么计算？可以尝试进行变量分离——但如果变量分离不了呢？那就先对影响分离的部分作整体代换
一、题目
已知，通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$, 则此曲线的方程是多少？
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继续阅读“不能用公式也不能降阶的微分方程怎么计算？可以尝试进行变量分离——但如果变量分离不了呢？那就先对影响分离的部分作整体代换”对于二阶常系数非齐次微分方程，当需要直接求函数解时可以用公式法，当需要用到中间的某些量时可以用常数变易法
一、题目
已知，$a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$, $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x)$ $\quad (x \in[0,+\infty))$ 的解，则：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=?
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=?
$$
难度评级：
继续阅读“对于二阶常系数非齐次微分方程，当需要直接求函数解时可以用公式法，当需要用到中间的某些量时可以用常数变易法”