「荒原之梦考研数学」文章 – 第 36 页

一、题目

$$
I = \int \frac{\sin ^{2} x}{\left( x \cos x – \sin x \right) ^{2}} \mathrm{~d} x
$$

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一、题目

已知，$A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A B$ $=$ $O$, 则下列选项正确的是哪个？

(A) $A=O$ 或 $B=O$

(B ) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$

(D) $|A| + |B| = 0$

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每日箴言：美，取决于内核，而非载体

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Dominicus Johannes Bergsma

更美、更好、更强，这是我们很多人毕生的追寻。然而，我们有时候会很容易陷入表面上和形式上的追寻，却不知，真正的美来自内在的核心。就像，一个好的笔记不取决于写笔记的纸和笔，而是笔记的内容，只要外部的载体能够以合适的方式满足我们的需求，那么，对内在的核心的建设，才是最值得的追求。

2024 年 06 月 24 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：被誉为“白色天堂”的百子莲的单个花蕾，该图片由 39 幅照片叠焦而成。
作者：Dominicus Johannes Bergsma
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 18 日 07 时 13 分
相机坐标：东经 5° 47′ 04.2″, 北纬 52° 58′ 02.82″
来源：wikimedia.org

平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算

一、题目

$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$

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每日箴言：每个人都需要一座灯塔

每个人都需要一座灯塔，这样迷途的灵魂才能找到航向，返回港湾。在人生的旅途中，我们难免会遭遇风吹浪打，难免会失去前进的方向，难免会徘徊、怅惘和懈怠，但只要心中的灯塔仍然闪烁微光，未来就仍然可以明亮！

2024 年 06 月 24 日

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描述：波兰在波罗的海海岸上的科沃布热格灯塔。
作者：Jar.ciurus
授权协议：本文件采用知识共享署名 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2016 年 09 月 09 日 05 时 16 分 54 秒
相机坐标：东经 15° 33′ 15.16″, 北纬 54° 11′ 10.99″
来源：wikimedia.org

泰勒公式并不是只能近似表示函数在一点处的情况，还能近似表示一个较小区间内函数的情况

一、前言

虽然我们常常用泰勒展开式来“拟合”函数在“ 一点处 ”的情况，但是，泰勒展开式其实是具备描述函数在“ 一点处附近 ”的情况这个能力的，下面就跟随「荒原之梦考研数学」一起，看看这是为啥吧。

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若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换

一、题目

$$
I = \int \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { 2 x } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$

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每日箴言：从洞穴到钢筋混凝土的丛林，我们从未走出的是对资源的争夺

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Daniel Vorndran / DXR

人类始终是人类，正是对资源的争夺促进着我们社会的发展与进步。所以，不要惧怕前方可能出现的各种挑战，只要我们做好准备，在这丛林的规则之内，我们可以尽情、尽全力地去勇敢争夺属于自己的“领地”！

2024 年 06 月 23 日

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描述：日落前从比尔哈凯姆桥眺望法国首都巴黎十五区，该区是巴黎的 20 个区之一。
作者：Daniel Vorndran / DXR
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。这张图片展示了在法国公共场所拍摄的建筑或艺术作品。法国有有限的全景自由豁免，这意味着除了非商业目的之外，它们不能被自由拍摄。但是，法国判例规定，如果作品是与主要代表或处理的主体相比的附属品，则不构成侵权（NoFoP-France）。
拍摄时间（当地时间）：2014 年 05 月 07 日 20 时 42 分
相机坐标：东经 2° 17′ 15.55″, 北纬 48° 51′ 19.59″
来源：wikimedia.org

常用的左右极限汇总（图示）

一、前言

在涉及极限运算的题目中，我们需要特别注意左极限和右极限的问题，因为这两个极限有可能是不相等的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就对高等数学中常用的左右极限不相等的例子做一个汇总，并通过图示的形式加深同学们对这些例子的理解和掌握。

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为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x

一、题目

$$
I = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x = ?
$$

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每日箴言：是否大海中的每一个水分子都曾抵达过陆地？

以目前的科技，我们可能很难去证明是否大海中的每一个水分子都曾接触过陆地，也许一定会存在至少一个水分子，在亿万年的时光中，始终在大海中漂泊，从未抵达彼岸——不过，这个水分子又是何其幸运，能够在此时此刻，从无数个水分子中脱颖而出，出现在我们的脑海之中。

2024 年 06 月 22 日

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描述：被誉为“葡萄牙最蓝的海滩之一”的里贝罗杜卡瓦洛海滩。
作者：The Cosmonaut
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 加拿大许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 03 月 17 日 14 时 05 分
相机坐标：西经 9° 07′ 49.75″, 北纬 38° 25′ 57.4″
来源：wikimedia.org

这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来

一、题目

已知 $f ^{\prime} (a)$ $=$ $f ^{\prime \prime} (a)$ $=$ $0$, 且 $f ^{\prime \prime \prime} (a)$ $>$ $0$, 则下列结论中，正确的是哪个？

[A]. $(a, f(a))$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点

[B]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极小值

[C]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极大值

[D]. $f ^{\prime} (a)$ 是 $f ^{\prime} (x)$ 的极大值

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趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路

一、题目

$$
I = \int \frac{x \tan x}{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x
$$

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求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂

一、前言

我们知道，对 $\frac{u}{v}$ 求导（其中 $v \neq 0$），有如下公式：

$$
\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$

那么，这个公式除了可以用来对分式进行求导，还能用还做什么呢？

在接下来的文章中，「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。

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每日箴言：每一座山峰，都经历了亿万年的历练，在无数个未与我们相遇的日子里，默默强大

所有的山峰，都是从地平线上拔地而起的，经历了一次次的日升日落，一次次的雨打风吹，才成长为今天的模样。

2024 年 06 月 20 日

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描述：双锥体锡石，化学式为 SnO2, 采自中国四川省平武县雪宝顶南麓，其边长约为 30 厘米。
作者：Alchemist-hp
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拍摄时间（当地时间）：2010 年 02 月 25 日 21 时 16 分
相机坐标：东经 104° 31′ 38.49″, 北纬 32° 25′ 05.61″
来源：wikimedia.org