11 月 2023 - 第3页共9页 - 荒原之梦

在无穷大方向上，函数可能存在水平渐近线和倾斜渐近线

一、题目

已知 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 连续, 且 $f (x) = a + g (x)$ , 其中 $a \neq 0$ 为常数, $lim_{x \to + \infty} g (x) = 0$ ,又 $\int_{0}^{+ \infty} g (t) d t = b$ , 则 $x \to + \infty$ 时， $y = F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 有渐近线（）

难度评级：

导数和原函数的周期性是一致的

一、题目

已知 $f (x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数, 在 $x = 0$ 的某个邻域内, 满足 $f (1 + \sin x) - 3 f (1 - \sin x) = 8 x + α (x)$ . 其中当 $x \to 0$ 时, 函数 $α (x)$ 是关于 $x$ 的高阶无穷小, 且 $f (x)$ 在 $x = 1$ 点可导, 则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(6, f (6))$ 处的切线方程为（）

难度评级：

这个无穷阶导数的规律你会找吗？

一、题目

设 $f (x) = \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ , 则 $f^{(n)} (x) = ?$

难度评级：

这道题相当考研提取“公因式”的能力

一、题目

若 $f (x) = (x - 1) x^{\frac{2}{3}}$ , 则 $f (x)$ 的凸区间是（），拐点的横坐标是（）

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如何确定隐函数的极值点？

一、题目

设 $y = y (x)$ 是由方程 $2 y^{3} - 2 y^{2} + 2 x y - x^{2} = 1$ 确定的，则 $y = y (x)$ 的极值点是哪个？

难度评级：

不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $A$ 和 $B$ 相似的是哪个？

(A) $A = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

(B) $A = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & 5 \end{array}], B = [\begin{array}{ccc} 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

(C) $A = [\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

(D) $A = [\begin{array}{lll} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}], B = [\begin{array}{lll} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}]$

难度评级：

无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零

一、题目

已知 $A = [\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & - 5 \end{array}]$ , 若 $r (A) = 2$ , 则 $a = ?$

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单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远

一、题目

已知：

$A = [\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}]$

$B = [\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \end{array}]$

$P_{1} = [\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$P_{2} = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

则必有：

(A) $A P_{1} P_{2} = B$

(B) $A P_{2} P_{1} = B$

(C) $P_{1} P_{2} A = B$

(D) $P_{2} P_{1} A = B$

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伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？

一、题目

荒原之梦考研数学

若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下面不正确的运算是哪个？

(A) ${(A^{*})}^{- 1} = \frac{1}{| A |} A$

(B) $| A^{*} | = | A |^{n - 1}$

(C) ${(A^{*})}^{*} = | A |^{n - 2} A$

(D) $(k A)^{*} = k A^{*}$

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在矩阵转置和求逆运算中，系数应该遵循什么运算规则？

一、题目

已知 $A, B$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为：

(A) $(3 A B)^{⊤} = \frac{1}{3} B^{⊤} A^{⊤}$

(B) $(5 A B)^{- 1} = 5 B^{- 1} A^{- 1}$

(C) $(A + B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}$

(D) $(3 A + 5 B)^{⊤} = 3 A^{⊤} + 5 B^{⊤}$

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注意命题推导的箭头“指向”

一、题目

已知 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是哪个？

(A) $A B = O \Leftrightarrow A = O$ 或 $B = O$

(B) $A B \neq O \Leftrightarrow A \neq O$ 且 $B \neq O$

(C) $A B = O \Rightarrow | A | = 0$ 或 $| B | = 0$

(D) $A B \neq O \Rightarrow | A | \neq 0$ 且 $| B | \neq 0$

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你知道转置矩阵和逆矩阵、伴随矩阵、单位矩阵的这一个区别吗？

一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆阵，则下列等式不成立的是哪个？

(A) ${(A + A^{- 1})}^{2} = A^{2} + 2 E + {(A^{- 1})}^{2}$

(B) ${(A + A^{⊤})}^{2} = A^{2} + 2 A A^{⊤} + {(A^{⊤})}^{2}$

(C) ${(A + A^{*})}^{2} = A^{2} + 2 A A^{*} + {(A^{*})}^{2}$

(D) $(A + E)^{2} = A^{2} + 2 A + E$

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矩阵相乘一般不能交换

一、题目

已知 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则运算法则中错误的是哪个？

(A) $(A + B) + C = (C + B) + A$

(B) $(A B) C = A (B C)$

(C) $(A + B) C = A C + B C$

(D) $A (B + C) = B A + C A$

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合同矩阵有什么性质？什么样的矩阵属于合同矩阵？

一、题目

与矩阵 $A = [\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ 合同的矩阵是哪个？

(A) $[\begin{array}{lll} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

(B) $[\begin{array}{lll} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}]$

(C) $[\begin{array}{lll} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}]$

(D) $[\begin{array}{lll} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}]$

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正定矩阵的特征值全部大于零

一、题目

若 $A = [\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$ , 若 $A + k E$ 正定, 则 $k$ 的取值范围是多少？

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