分类： 考研数学

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_1^{n–1}& x_2^{n–1}& x_3^{n–1}& \cdots & x_n^{n–1}\end{array}\right|$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$D_n=\prod _{1⩽j<i⩽n}\left(x_i–x_j\right)$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

一、题目

已知，$\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 都是 $n$ 阶方阵，且：

$$\mathit{B}\mathit{A}=\mathit{E}$$

则：

$$\mathit{B}[\mathit{E}+\mathit{A}{(\mathit{E}+2{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }})}^{-1}\mathit{B}]\mathit{A}=?$$

难度评级：

一、题目

已知矩阵 $\mathit{K}$ $=$ $\mathit{A}\mathit{K}$ $+$ $\mathit{B}$, 且：

$$\begin{array}{rl}\mathit{A}& =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ –1& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\\ \\ \mathit{B}& =\left[\begin{array}{cc}1& –1\\ 2& 0\\ 3& 1\end{array}\right]\end{array}$$

则 $\mathit{K}$ $=$ $?$

难度评级：

一、题目

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& b& 0\\ 0& c& 0& d\\ e& 0& f& 0\\ 0& g& 0& h\end{array}\right|=?$$

难度评级：

一、题目

已知 ${\mathit{A}}^{–1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$, 则：

$$\begin{array}{rl}{\left(3{\mathit{A}}^{\ast }\right)}^{–1}& =?\\ {\left(2\mathit{A}\right)}^{\ast }& =?\end{array}$$

难度评级：

一、前言

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_m\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}{(-1)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_n$$

这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “$a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？

在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

一、前言

我们知道，$n$ 阶行列式的定义公式如下，同时，下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_m\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}{(-1)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_n$$

那么，如何理解上面这个公式呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题，为同学们讲明白这个知识点。

一、前言

如果已知 $n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ 和矩阵 $\mathit{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\mathit{O}$, 且下式成立：

$$\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}$$

那么，我们能判断出来有关矩阵 $\mathit{A}$ 和矩阵 $\mathit{B}$ 的哪些性质呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。