分类： 线性代数

题目

设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$A$ 的秩为 $2$, 且：

$$
A \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0\\
-1 & 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$

$(Ⅰ)$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量

$(Ⅱ)$ 求矩阵 $A$.

继续阅读“2011年考研数二第23题解析：实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算”

题目

设向量组 $\alpha_{1} = (1,0,1)^{\top}$, $\alpha_{2} = (0,1,1)^{\top}$, $\alpha_{3} = (1,3,5)^{\top}$ 不能由向量组 $\beta_{1}=(1,1,1)^{\top}$, $\beta_{2} = (1,2,3)^{\top}$, $\beta_{3} = (3,4,a)^{\top}$ 线性表示。

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 用 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表示。

继续阅读“2011年考研数二第22题解析：线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵”

题目

二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x_{1}^{2}$ $+$ $3x_{2}^{2}$ $+$ $x_{3}^{2}$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$, 则 $f$ 的正惯性指数为__.

继续阅读“2011年考研数二第14题解析：二次型、特征值和正负惯性指数”

题目

设 $A=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})$ 是四阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^{\top}$ 是方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，则 $A^{*} X = 0$ 的基础解系可为 $()$

$$
(A)\alpha_{1}, \alpha_{3}
$$

$$
(B)\alpha_{1}, \alpha_{2}
$$

$$
(C)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$

$$
(D)\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$

继续阅读“2011年考研数二第08题解析”

题目

设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$, 再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩阵. 记 $P_{1} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
1& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$, $P_{2} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0
\end{bmatrix}$, 则 $A=()$.

$$
(A) P_{1}P_{2}
$$

$$
(B)P_{1}^{-1}P_{2}
$$

$$
(C)P_{2}P_{1}
$$

$$
(D )P_{2}P_{1}^{-1}
$$

继续阅读“2011年考研数二第07题解析”