设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) = ?$
$$A. \alpha_{1} + \alpha_{2}$$
$$B. \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$$
$$C. \alpha_{2} + \alpha_{3}$$
$$D. \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$$
继续阅读“2017年考研数二第07题解析”设 $A$ 为三阶矩阵，$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$
继续阅读“2018年考研数二第14题解析”解释：
如果把矩阵中的每个元素都看作一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，因此，当分块中不止一个元素时，矩阵的运算法则也不会改变。
解释：
如果把一个矩阵的整体看成一个分块，即一个矩阵只有一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，自然也不会改变矩阵的转置法则。当一个矩阵中只有一个分块时，根据上面的第一条性质，这个分块可以看作是一个单独的元素，一个单独的元素转置与否都没有形式上的改变（对于单个的元素而言，其位置由第一行第一列变成第一列第一行之后，元素位置实际上未发生改变），之后，为了遵循矩阵的转置法则，这个分块内部的元素必须也进行一次转置才可以。
EOF
设 $A$, $B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩，$(X,Y)$ 表示分块矩阵，则 $?$
$$A. r(A,AB)=r(A)$$
$$B. r(A,BA)=r(A)$$
$$C. r(A,B)= \max \{ r(A), r(B) \}$$
$$D. r(A,B) = r(A^{\top}, B^{\top})$$
继续阅读“2018年考研数二第08题解析”矩阵有效的行数，也就是线性无关的行的个数。
矩阵有效的列数，也就是线性无关的列的个数。
一个矩阵行满秩或者列满秩（满足一个即可）就称为满秩矩阵。
这里需要注意的是，并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然，只要一个矩阵行满秩（列满秩），那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数（列数）的方阵了，自然也不会存在阶数大于其行数（列数）的非零方阵。
无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵，都有如下性质：
行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。
对此我们可以这样理解：由于转置并不改变矩阵的秩，因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。
若 $A$ 【行】满秩，则：
$$
R(BA)=R(B).
$$
若 $A$ 【列】满秩，则：
$$
R(AB)=R(B).
$$
下列矩阵中，与矩阵 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 相似的为 $?$
$$A. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
$$B. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
$$C. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
$$D. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
继续阅读“2018年考研数二第07题解析”设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^{2} + A = 2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $+$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $-$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个向量，则 $r(A^{*}) = ?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $0$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $1$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $2$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $3$
注意：以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{*}$ 都是方阵。
$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩之间的关系如下：
①
如果 $A$ 满秩，即 $r(A)=n$, 则 $A^{*}$ 也满秩，即 $r(A^{*})=n$;
②
如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{*})=1$;
③
如果 $r(A) < n-1$, 则 $r(A^{*})=0$.
也就是说，随着原矩阵秩的减小，其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。
EOF
已知矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{bmatrix}$ ,$A_{ij} $ 表示$|A|$中$(i,j)$元的代数余子式，则$A_{11}-A_{12}=?$
继续阅读“2019年考研数二第14题解析”若矩阵 $A$ 经初等列变换化成 $B$, 则 ( )
A. 存在矩阵 $P$, 使得 $PA=B$
B. 存在矩阵 $P$, 使得 $BP=A$
C. 存在矩阵 $P$, 使得 $PB=A$
D. 方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解
继续阅读“2020 年研究生入学考试数学一第 5 题解析”行列式 $\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=$ ( )
$$( A ) (ad-bc)^{2}$$
$$( B ) -(ad-bc)^{2}$$
$$( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}$$
$$( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}$$
