设向量组 $\alpha_{1} = (1,0,1)^{\top}$, $\alpha_{2} = (0,1,1)^{\top}$, $\alpha_{3} = (1,3,5)^{\top}$ 不能由向量组 $\beta_{1}=(1,1,1)^{\top}$, $\beta_{2} = (1,2,3)^{\top}$, $\beta_{3} = (3,4,a)^{\top}$ 线性表示。
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 用 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表示。
继续阅读“2011年考研数二第22题解析：线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵”二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x_{1}^{2}$ $+$ $3x_{2}^{2}$ $+$ $x_{3}^{2}$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$, 则 $f$ 的正惯性指数为__.
继续阅读“2011年考研数二第14题解析：二次型、特征值和正负惯性指数”设 $A=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})$ 是四阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^{\top}$ 是方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，则 $A^{*} X = 0$ 的基础解系可为 $()$
$$
(A)\alpha_{1}, \alpha_{3}
$$
$$
(B)\alpha_{1}, \alpha_{2}
$$
$$
(C)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$
$$
(D)\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$, 再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩阵. 记 $P_{1} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
1& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$, $P_{2} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0
\end{bmatrix}$, 则 $A=()$.
$$
(A) P_{1}P_{2}
$$
$$
(B)P_{1}^{-1}P_{2}
$$
$$
(C)P_{2}P_{1}
$$
$$
(D )P_{2}P_{1}^{-1}
$$
根据题目可以知道，本文【主要】分析的是“【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”。
在这里，我首先给出我的分析结果：他们之间【没有关系】。
即：【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间没有确切的关系。如果要确定一个非齐次线性方程组究竟有多少线性无关的特解，则【可能】需要对非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的结构有更深入的研究，但这不在本文的分析范围之内。
本文将通过一个具体的例子验证我的上述判断并由此延伸，给出一个关于“【齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”——同样地，他们之间也是【没有关系】。
继续阅读“[线代]（非齐/齐）次线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”设 $A$ 为三阶矩阵，$|A|=3$, $A^{}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第一行与第二行得矩阵 $B$, 则 $|BA^{}|=?$
继续阅读“2012年考研数二第14题解析”设 $A$ 为三阶矩阵，$P$ 为三阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$. 若 $P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, $Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$. 则 $Q^{-1}AQ=?$
$$
A. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
B. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
C. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
D. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
设 $\alpha_{1} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
c_{1}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{2} = \begin{pmatrix}
0\\
1\\
c_{2}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{3} = \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
c_{3}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{4} = \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
c_{4}
\end{pmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组中线性相关的是 $?$
$$
A. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$
$$
B. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}
$$
$$
C. \alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
$$
D. \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
