一、题目
$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$
$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$
继续阅读“变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？”补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.
分类： 高等数学
$\sin [2 \arcsin y]$ 等于多少？
$\cos (\arcsin y)$ 等于多少？
计算不定积分 $\int$ $\cos^{2} t$ $\mathrm{d} t$
如何计算不定积分 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：
$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x
$$
为什么 $\sqrt{1+x}$ $-$ $\sqrt{1-x}$ $\sim$ $x$ ?
已知，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：
$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$
一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $=$ $0$（B032）
问题
已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
选项
[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$（B032）
问题
已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
选项
[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$
[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $=$ $-1$（B032）
问题
已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $=$ $-1$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
选项
[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$
[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$
[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $Q_{m}(t)$
$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$
其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $\neq$ $-1$（B032）
问题
已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $\neq$ $-1$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
选项
[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$
[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$
[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $t$ $+$ $B_{1}$ $t^{2}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m+1}$
$y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
齐次差分方程通解的形式（B032）
问题
已知，$C$ 为任意常数，则以下哪个是齐次差分方程通解的形式？选项
[A]. $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t}$[B]. $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$
[C]. $y_{C}(t)$ $=$ $(-a)^{t}$ $+$ $C$
[D]. $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t+1}$
$y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式（B032）
问题
已知，$f(t)$ $\neq$ $0$, $a$ 为非零常数，则，以下哪个选项是一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式？选项
[A]. $y_{t+1}$ $-$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$[B]. $a$ $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$
[C]. $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$
[D]. $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$
差分方程解的可加性（B032）
问题
已知：$\overline{y_{t}}$ 与 $\widetilde{y_{t}}$ 分别是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ 和 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{2}(t)$ 的解。
则，以下哪个选项是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ $+$ $f_{2}(t)$ 的解？
选项
[A]. $\overline{y_{t}}$ $\times$ $\widetilde{y_{t}}$[B]. $$
[C]. $\overline{y_{t}}$ $-$ $\widetilde{y_{t}}$
[D]. $\frac{\overline{y_{t}}}{\widetilde{y_{t}}}$
$\overline{y_{t}}$ $+$ $\widetilde{y_{t}}$
非齐次差分方程通解的构成（B032）
问题
已知：$y^{*}$ 是非齐次差分方程的一个特解；$y_{C}(t)$ 是相应齐次差分方程的通解。
则，相应的非齐次差分方程的通解为：$y_{t}$ $=$ $?$
选项
[A]. $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $\times$ $y_{t}^{*}$[B]. $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $-$ $y_{t}^{*}$
[C]. $y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$
[D]. $y_{t}$ $=$ $\frac{y_{C}(t)}{y_{t}^{*}}$
$y_{t}$ $=$ $y_{C}(t)$ $+$ $y_{t}^{*}$
一阶常系数齐次线性差分方程的构型（B032）
问题
已知，$a$ 为非零常数，则以下哪个选项可以被称为一阶常系数齐次线性差分方程？选项
[A]. $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$[B]. $y_{t+1}$ $\times$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$
[C]. $y_{t+1}$ $+$ $y_{t}$ $=$ $a$
[D]. $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $1$
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$