一、题目
$$
I = \lim _{ x \rightarrow 3 } \frac { \textcolor{pink}{ x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } }} { \textcolor{yellow}{ ( x – 3 ) ^ { 2 } }} = ?
$$
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继续阅读“如果倒数的极限等于零，那么原式的极限就是无穷大”如果倒数的极限等于零，那么原式的极限就是无穷大
一、题目
分类： 高等数学
数列乘积极限的相关结论
一、前言 
已知有数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$, 那么，这两个数列的乘积数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 的敛散性该怎么判断？
在本文中，荒原之梦考研数学就将通过一些例子，给同学们讲明白上述这个问题。
继续阅读“数列乘积极限的相关结论”2023年考研数二第21题解析：泰勒公式、存在性的理解
一、题目
设函数 $f ( x )$ 在 $[ – a , a ]$ 上具有 $2$ 阶连续导数，证明：
(1) 若 $f ( 0 ) = 0$, 则存在 $\xi \in ( – a , a )$, 使得 $f ^ { \prime \prime } ( \xi )$ $=$ $\frac { 1 } { a ^ { 2 } }$ $[ f ( a ) + f ( – a ) ]$;
(2) 若 $f ( x )$ 在 $( – a , a )$ 内取得极值，则存在 $\eta \in ( – a , a )$, 使得 $\left| f ^ { \prime \prime } ( \eta ) \right|$ $\geq$ $\frac { 1 } { 2 a ^ { 2 } }$ $| f ( a ) – f ( – a ) |$.
难度评级：
继续阅读“2023年考研数二第21题解析：泰勒公式、存在性的理解”泰勒定理的展开点及附近邻域内被展开点的情况（图示）
一、前言
我们知道，泰勒公式不仅能近似表示某个展开点处的函数情况，还能够近似表示该展开点周围一定范围内的被展开点的处的函数情况（相关文章可以参考这里）。
那么，在本文中，荒原之梦考研数学将通过比较函数 $f(x)$ $=$ $e ^{x}$ 在 $x = 0$ 处的原函数与泰勒展开式所构成的函数，用图示的方法让大家更直观清晰的理解泰勒定理中展开点与被展开点的情况。
继续阅读“泰勒定理的展开点及附近邻域内被展开点的情况（图示）”殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题
一、题目
$$
I = \int \frac{\sin ^{2} x}{\left( x \cos x – \sin x \right) ^{2}} \mathrm{~d} x
$$
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继续阅读“殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题”对题目的总结可以通过举例的方式记忆
一、题目
已知，$A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A B$ $=$ $O$, 则下列选项正确的是哪个？
(A) $A=O$ 或 $B=O$
(B ) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$
(C) $A + B = O$
(D) $|A| + |B| = 0$
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继续阅读“对题目的总结可以通过举例的方式记忆”平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算
一、题目
$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算”泰勒公式并不是只能近似表示函数在一点处的情况，还能近似表示一个较小区间内函数的情况
一、前言
虽然我们常常用泰勒展开式来“拟合”函数在“ 一 点 处 ”的情况，但是，泰勒展开式其实是具备描述函数在“ 一 点 处 附 近 ”的情况这个能力的，下面就跟随「荒原之梦考研数学」一起，看看这是为啥吧。
继续阅读“泰勒公式并不是只能近似表示函数在一点处的情况，还能近似表示一个较小区间内函数的情况”若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换
一、题目
$$
I = \int \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { 2 x } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换”常用的左右极限汇总（图示）
一、前言
在涉及极限运算的题目中，我们需要特别注意左极限和右极限的问题，因为这两个极限有可能是不相等的。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就对高等数学中常用的左右极限不相等的例子做一个汇总，并通过图示的形式加深同学们对这些例子的理解和掌握。
继续阅读“常用的左右极限汇总（图示）”为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x
一、题目
$$
I = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x”这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来
一、题目
已知 $f ^{\prime} (a)$ $=$ $f ^{\prime \prime} (a)$ $=$ $0$, 且 $f ^{\prime \prime \prime} (a)$ $>$ $0$, 则下列结论中，正确的是哪个？
[A]. $(a, f(a))$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点
[B]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极小值
[C]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极大值
[D]. $f ^{\prime} (a)$ 是 $f ^{\prime} (x)$ 的极大值
难度评级：
继续阅读“这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来”趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路
求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂
一、前言
我们知道，对 $\frac{u}{v}$ 求导（其中 $v \neq 0$），有如下公式：
$$
\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$
那么，这个公式除了可以用来对分式进行求导，还能用还做什么呢？
在接下来的文章中，「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。
继续阅读“求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂”微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题
一、题目
已知有一个长度为 $10$ 米的梯子斜靠在垂直于地面的墙壁上，在 $t = 0$ 的时刻，这个梯子的最底端开始沿着水平的地面以 $2$ 米每秒的速度匀速向远离墙面的方向滑动，则在哪个时刻，该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2$ 米每秒？
难度评级：
继续阅读“微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题”