高等数学归档 - 第8页共120页

对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法”

一、题目

已知 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则下面的逆矩阵等于多少：

$$
\left( \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \right) ^ { – 1 }
$$

(A) $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$

(B) $\boldsymbol { A } ( \boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B } ) ^ { – 1 } \boldsymbol { B }$

(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$

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由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性

一、题目

已知，函数 $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 上都是可导函数，且 $f ( x )$ $<$ $g ( x )$, 则下面说法一定正确的是哪个？

(A) $f ( – x )$ $>$ $g ( – x )$

(B) $f ^ { \prime } ( x )$ $<$ $g ^ { \prime } ( x )$

(D) $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$ $<$ $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$

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对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图

一、题目

如果要使积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 收敛，则 $p$ 需要满足以下哪个条件？

(A). $1$ $<$ $p$ $<$ $2$

(C). $p$ $\leqslant$ $0$

(B). $1$ $\leqslant$ $p$ $\leqslant 2$

(D). $p$ $<$ $-1$

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扩展的无穷限和无界函数的反常积分审敛法

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将给出扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法和扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法。

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趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况

一、题目

下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？

$$
I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$

其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$

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趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况

一、题目

$$
I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 3 } + 3 } } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } – 2 } } = ?
$$

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构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量

一、题目

已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：

$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

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一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)

一、题目

已知 $a$ $<$ $b$, 请证明：

$$
\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

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有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理

一、题目

已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$

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等价无穷大替换公式

一、前言

等价无穷小的替换公式几乎所有考研数学资料都会提到，但是却鲜有提及“等价无穷大替换公式”。在本文中，荒原之梦考研数学将对此做一个阐释。

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做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

一、题目

已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：

$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$