作者： 荒原之梦

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}},1<x<e,\\ \frac{1}{x{\ln }^{a+1}x},x⩾e.\end{array}$ 若反常积分 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$A.a<-2$$

$$B.a>2$$

$$C.-2<a<0$$

$$D.0<a<2$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$${\int }_1^e\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛};$$

$${\int }_e^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{a+1}x}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}.$$

结合前面的公式，于是有：

$$a-1<1;$$

$$a+1>1.$$

于是：

$$0<a<2.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

EOF

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\sin x,0⩽x<\pi ,\\ 2,\pi ⩽x⩽2\pi ,\end{array}$ $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$, 则 $?$

$$A.x=\pi \mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}F(x)\mathrm{的}\mathrm{跳}\mathrm{跃}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

$$B.x=\pi \mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}F(x)\mathrm{的}\mathrm{可}\mathrm{去}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

$$C.F(x)\mathrm{在}x=\pi \mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$$

$$D.F(x)\mathrm{在}x=\pi \mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}$$

继续阅读“2013年考研数二第03题解析”

题目

设函数 $y=f(x)$ 是由方程 $\cos (xy)+\ln y–x=1$ 确定，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(\frac{2}{n})–1]=?$

$$A.2$$

$$B.1$$

$$C.-1$$

$$D.-2$$

继续阅读“2013年考研数二第02题解析”

题目

设 $\cos x–1=x\sin a(x)$, 其中，$|a(x)|<\frac{\pi }{2}$, 则当 $x\to 0$ 时，$a(x)$ 是 $?$

$$A.\mathrm{比}x\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$B.\mathrm{比}x\mathrm{低}\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$C.\mathrm{与}x\mathrm{同}\mathrm{阶}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$D.\mathrm{与}x\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

继续阅读“2013年考研数二第01题解析”