初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & -k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


答案

$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$

拓展资料 拓展资料 - 荒原之梦

  1. 第三种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第二种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


答案

$\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{\frac{1}{k}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right)$

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  1. 第二种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第一种初等变换形成的 初 等 矩 阵 ，则该矩阵的 逆 矩 阵 $\boldsymbol{E_{i j}^{-1}}$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


答案

$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$

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  1. 第一种初等矩阵

初等变换与初等矩阵的关系之：“右列”原则（C011）

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 初 等 列 变 换 ，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 哪 边 乘 以 一个相应的 $m$ 阶 初 等 矩 阵 ？

选项

[A].   左右两边

[B].   左边

[C].   右边

[D].   左边或者右边


答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 列 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 右 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵

初等变换与初等矩阵的关系之：“左行”原则（C011）

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 初 等 行 变 换 ，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 哪 边 乘 以 一个相应的 $m$ 阶 初 等 矩 阵 ？

选项

[A].   左边或者右边

[B].   左右两边

[C].   右边

[D].   左边


答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 行 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 左 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵

第三种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 行 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 行 上，或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 列 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 列 上，所得的矩阵被称为第 三 种初等矩阵。
根据惯例，以下对第 三 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？

选项

[A].   $k \boldsymbol{E}_{i j}$

[B].   $\boldsymbol{E}_{j}(k)$

[C].   $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[D].   $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$


答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$

第二种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 乘 以 非零常数 $\textcolor{tan}{k}$, 所得的矩阵被称为第 二 种初等矩阵。
根据惯例，以下对第 二 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？

选项

[A].   $\boldsymbol{E}_{i}$

[B].   $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[C].   $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[D].   $k \boldsymbol{E}_{i}$


答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$

高数极限小技巧：$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

在做有些涉及极限的题目时，我们常常会遇到下面这样的表述：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}
$$

但是，我们可能会产生这样的疑问：

$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 既不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$, 也不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}}$, 那么，在计算含有 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 的式子时该怎么计算，需要 分 类 讨 论 嘛？

继续阅读“高数极限小技巧：$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$”

第一种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 行 元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 列 元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第 一 种初等矩阵。
根据惯例，以下对第 一 种初等矩阵的 符 号 表 示 中，正 确 的是哪个？

选项

[A].   $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[B].   $\boldsymbol{E}_{j}$

[C].   $\boldsymbol{E}_{i}$

[D].   $\boldsymbol{E}_{i j}$


答案

$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$

什么是初等矩阵？（C011）

问题

已知，$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵， 则 以 下 关 于 初 等 矩 阵 的 说 法 中 ，正确的是哪个？

选项

[A].   $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵

[B].   $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[C].   $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[D].   $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵


答案

$\boldsymbol{E}$ 经过 一 次 初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等行变换和初等列变换（C011）

问题

根据 矩 阵 初 等 变 换 的 定 义 ，以下说法中正确的是哪个？

选项

[A].   只有初等行变换是初等变换

[B].   初等行变换和初等列变换都是初等变换

[C].   同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换

[D].   只有初等列变换是初等变换


答案

初等 行 变换和初等 列 变换 都 是 初等变换

矩阵的第三种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义， 把 矩 阵 中 某 一 行 或 列 的 所 有 元 素 的 常 数 $k$ 倍 加 到 该 矩 阵 的 另 一 行 或 列 上 ，是否是一种初等变换？

选项

[A].   是

[B].   不是


答案

是

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矩阵的第二种初等变换（C011）

问题

根据矩阵初等变换的定义， 用 非 零 常 数 $k$ 乘 以 矩 阵 中 某 一 行 或 者 某 一 列 的 所 有 元 素 ，是否是一种初等变换？

选项

[A].   是

[B].   不是


答案

是

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