初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ 的逆矩阵(C011)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵,则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & -k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


答案

$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$

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  1. 第三种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ 的逆矩阵(C011)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第二种初等变换形成的初等矩阵,则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


答案

$\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{\frac{1}{k}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right)$

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  1. 第二种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ 的逆矩阵(C011)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第一种初等变换形成的 ,则该矩阵的 $\boldsymbol{E_{i j}^{-1}}$ 是下列选项中的哪一个?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


答案

$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$

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  1. 第一种初等矩阵

初等变换与初等矩阵的关系之:“右列”原则(C011)

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 ,就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 一个相应的 $m$ 阶

选项

[A].   左右两边

[B].   左边

[C].   右边

[D].   左边或者右边


答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 变换,就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵

初等变换与初等矩阵的关系之:“左行”原则(C011)

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次 ,就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 一个相应的 $m$ 阶

选项

[A].   左边或者右边

[B].   左右两边

[C].   右边

[D].   左边


答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 变换,就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵

第三种初等矩阵的表示方法(C011)

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 上,或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 上,所得的矩阵被称为第 种初等矩阵。
根据惯例,以下对第 种初等矩阵的 中, 的是哪个?

选项

[A].   $k \boldsymbol{E}_{i j}$

[B].   $\boldsymbol{E}_{j}(k)$

[C].   $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[D].   $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$


答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$(或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$),得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$

第二种初等矩阵的表示方法(C011)

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 非零常数 $\textcolor{tan}{k}$, 所得的矩阵被称为第 种初等矩阵。
根据惯例,以下对第 种初等矩阵的 中, 的是哪个?

选项

[A].   $\boldsymbol{E}_{i}$

[B].   $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[C].   $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[D].   $k \boldsymbol{E}_{i}$


答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$(或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$),得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$

高数极限小技巧:$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

在做有些涉及极限的题目时,我们常常会遇到下面这样的表述:

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}
$$

但是,我们可能会产生这样的疑问:

$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 既不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$, 也不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}}$, 那么,在计算含有 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 的式子时该怎么计算,需要 嘛?

继续阅读“高数极限小技巧:$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$”

第一种初等矩阵的表示方法(C011)

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换,所得的矩阵被称为第 种初等矩阵。
根据惯例,以下对第 种初等矩阵的 中, 的是哪个?

选项

[A].   $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[B].   $\boldsymbol{E}_{j}$

[C].   $\boldsymbol{E}_{i}$

[D].   $\boldsymbol{E}_{i j}$


答案

$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$(或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$),得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$

什么是初等矩阵?(C011)

问题

已知,$\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵, ,正确的是哪个?

选项

[A].   $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等行变换和一次初等列变换得到的矩阵称为初等矩阵

[B].   $\boldsymbol{E}$ 经过两次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[C].   $\boldsymbol{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

[D].   $\boldsymbol{E}$ 经过任意次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵


答案

$\boldsymbol{E}$ 经过 初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等行变换和初等列变换(C011)

问题

根据 ,以下说法中正确的是哪个?

选项

[A].   只有初等行变换是初等变换

[B].   初等行变换和初等列变换都是初等变换

[C].   同时进行初等行变换和初等列变换才是初等变换

[D].   只有初等列变换是初等变换


答案

初等 变换和初等 变换 初等变换

矩阵的第三种初等变换(C011)

问题

根据矩阵初等变换的定义, $k$ ,是否是一种初等变换?

选项

[A].   

[B].   不是


答案

继续阅读“矩阵的第三种初等变换(C011)”

矩阵的第二种初等变换(C011)

问题

根据矩阵初等变换的定义, $k$ ,是否是一种初等变换?

选项

[A].   

[B].   不是


答案

继续阅读“矩阵的第二种初等变换(C011)”