荒原之梦

题目

设 $D_{k}$ 是圆域 $D={(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 1 }$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_{k}=\iint_{D_{k}} (y-x) dxdy (k=1,2,3,4)$, 则 $?$

$$
A. I_{1} > 0
$$

$$
B. I_{2} > 0
$$

$$
C. I_{3} > 0
$$

$$
D. I_{4} > 0
$$

继续阅读“2013年考研数二第06题解析”

1. 前言

明白二重积分的几何意义对我们更好的理解和掌握高等数学中二重积分的相关题目具有十分重要的意义。在本文中，荒原之梦网将通过形象的图文，清晰明了的阐释清楚二重积分的几何意义，让大家在学习二重积分以及在计算二重积分的相关题目时，更加胸有成竹。

继续阅读“高等数学：二重积分的几何意义解释”

题目

设 $z=\frac{y}{x}f(xy)$, 其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = ?$

$$
A. 2yf^{‘}(xy)
$$

$$
B. -2yf^{‘}(xy)
$$

$$
C. \frac{2}{x}f(xy)
$$

$$
D. -\frac{2}{x}f(xy)
$$

继续阅读“2013年考研数二第05题解析”

题目

设函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(x-1)^{a-1}}, 1 < x < e,\\
\frac{1}{x \ln^{a+1} x}, x \geqslant e.
\end{matrix}\right.$ 若反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$
A. a < -2
$$

$$
B. a > 2
$$

$$
C. -2 < a < 0
$$

$$
D. 0 < a < 2
$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$$
\int_{1}^{e} \frac{1}{(x-1)^{a-1}}dx \Rightarrow 收敛;
$$

$$
\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{a+1} x} dx \Rightarrow 收敛.
$$

结合前面的公式，于是有：

$$
a-1<1;
$$

$$
a+1>1.
$$

于是：

$$
0<a<2.
$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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