2018年考研数二第23题解析:矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵

题目

已知 a 是常数,且矩阵 A=[12a13027a] 可经初等列变换化为矩阵 B=[1a2011111].

()a;

() 求满足 AP=B 的可逆矩阵 P.

解析

()

A=[12a13027a]

A=[39013027a]

A=[00013027a]

r(A)=2

r(B)=r(A)=2.

B=[1a2011111]

B=[1a2011111]

B=[1a20110a+13]

由上式可知,只有当 a=2 时,才有 r(B)=2, 于是:

a=2.

()

由第 () 问的计算结果可知:

A=[122130272];

B=[122011111].

若令 P=(X1,X2,X3), B=β1,β2,β3, 则计算 AP=B 就可以转化为计算:

{AX1=β1;AX2=β2;AX3=β3.

为了使计算上式的时候更加方便,我们可以对矩阵 A 和矩阵 B 做初等行变换,进行化简之后再完成对上式中 X1, X2X3 的计算:

(AB)

[122122130011272111]

[122122130011390033]

[122122130011000000]

[122122012111000000]

[106344012111000000].

于是:

{AX1=β1;AX2=β2;AX3=β3.

[106012000]X1=[310];

[106012000]X1=[410];

[106012000]X1=[410].

于是,根据“非齐通 = 齐通 + 非齐特”的定理,可得:

X1=k1[621]+[310];

X2=k2[621]+[410];

X3=k3[621]+[410].

于是,可令:

P=(X1,X2,X3)

[6k1+36k2+46k3+42k112k212k31k1k2k3].

但是,仅有上面的计算步骤还没有完全符合题意。由于题目要求矩阵 P 可逆,因此,还必须保证 |P|0, 于是:

|P|0

|6k1+36k2+46k3+42k112k212k31k1k2k3|0

|6k1+36k2+46k3+4111k1k2k3|0

|344111k1k2k3|0

|100111k1k2k3|0

k3k20

k3k2.

于是可知,可逆矩阵 P 为:

P=[6k1+36k2+46k3+42k112k212k31k1k2k3].

其中 k1, k2, k3 为任意常数,且 k2k3.


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