题目
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1) > 0$, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明：
$(Ⅰ)$ 方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在一个实根；
$(Ⅱ)$ 方程 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在两个不同实根.
解析
解答本题前，我们首先要明确如下概念：
计算【方程】的实根，就是计算对应的【函数】图像与 $X$ 轴的交点横坐标。例如，设函数 $f(x) = x^{2} + 1$, 那么，其对应的方程就是 $f(x) = 0 \Rightarrow$ $x^{2} + 1 = 0$, 而式子 $x^{2} + 1 = 0$ 的解就是方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的实根，也就是可使函数 $f(x) = 0$ 的值，即函数 $f(x)$ 与 $X$ 轴交点的横坐标.
第 $(Ⅰ)$ 问
由极限的保号性可知，在 $0^{+}$ 附近存在 $\delta > 0$, 使得，当 $c \in (0, \delta)$ 时，有：
$$
\frac{f(c)}{c} < 0.
$$
又 $c > 0$, 于是：
$$
f(c) < 0.
$$
进而，由 $f(1) > 0$ 可知：
$$
f(c) \cdot f(1) < 0.
$$
于是可知，至少存在一个实数 $x_{0} \in$ $[c, 1) \subset (0, 1)$, 使得下式成立：
$$
f(x_{0}) = 0.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
由题可知，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上二阶可导，因此，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上一定连续.
又由题知，极限 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}$ 存在，于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} 存在 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)}{\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x} 存在 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = 0 \Rightarrow
$$
$$
f(0) = 0.
$$
又由第 $(Ⅰ)$ 问可知：
$$
f(x_{0}) = 0, x_{0} \in (0, 1).
$$
于是，由罗尔定理可知，一定存在 $\xi \in (0, x_{0})$, 使得下式成立：
$$
f^{‘}(\xi) = 0.
$$
又由于：
$$
[f(x)f^{‘}(x)]^{‘} = f^{‘}(x) f^{‘}(x) + f(x) f^{”}(x) \Rightarrow
$$
$$
[f(x)f^{‘}(x)]^{‘} = f(x) f^{”}(x) + [f^{‘}(x)]^{2}.
$$
于是，可令：
$$
F(x) = f(x) f^{‘}(x).
$$
即，判断方程 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 上的实根个数，就是判断方程 $F^{‘}(x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 上的实根个数.
接着：
$$
\left\{\begin{matrix}
f(0) = 0;\\
f(x_{0}) = 0, x_{0} \in (0, 1);\\
f^{‘}(\xi) = 0, \xi \in (0, x_{0}).
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
F(0) = f(0)f^{‘}(0) = 0;\\
F(x_{0}) = f(x_{0}) f^{‘}(x_{0}) = 0, x_{0} \in (0, 1);\\
F(\xi) = f(\xi) f^{‘}(\xi) = 0, \xi \in (0, x_{0}).
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
F(0) = 0;\\
F(x_{0}) = 0;\\
F(\xi) = 0.
\end{matrix}\right.
$$
于是，由罗尔定理可知：
- 存在 $x_{1} \in (0, \xi)$, 使得 $F^{‘}(x_{1}) = 0$ 成立；
- 存在 $x_{2} \in (\xi, x_{0})$, 使得 $F^{‘}(x_{2}) = 0$ 成立.
综上，至少存在两个实数 $x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$, 使得 $f(x) f^{”}(x) +$ $[f^{‘}(x)]^{2} = 0$ 成立.