[线代]只能使用行变换的运算场景

前言

在对矩阵进行运算的过程中,有时会涉及只能使用初等行变换(或者初等列变换)的计算方式,本文将对此类运算场景做一个整理总结,以作参考。

正文

1. 求逆矩阵

当使用如下方式求逆矩阵时只能使用行变换:

$$
(A | E) \Rightarrow (E | A^{-1})
$$

对这部分的解释可以参考如下这篇文章:

[线代]通过把单位矩阵看作一张白纸或原点来理解一些做题思路

2. 任何以解线性方程组的形式进行运算的场景

在使用矩阵的思想求解线性方程组的时候是不能引入任何列变换的,只能使用行变换,包括但不限于如下运算场景:

  • 求解齐次线性方程组
  • 求解非齐次线性方程组
  • 求解特征向量:$(\lambda_{i} E – A)x = O$

Tips: 求特征值的时候,既可以用初等行变换,也可以用初等列变换,根据需要使用即可。

3. 求列向量组的极大线性无关组

求解由若干列向量组成的列向量组中存在的极大线性无关组时只能用行变换(如果此时使用了列变换,会造成不同列之间的元素发生渗透,破坏原来的列向量之间的线性关系,故不能使用列变换)。

同理,求解由行向量组成的行向量组的极大线性无关组时只能使用列变换。

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