2021年考研数二第01题解析：求导运算、无穷小的比阶

一、题目

»A« 低阶无穷小.

»B« 等价无穷小.

»C« 高阶无穷小.

»D« 同阶但非等价无穷小.

难度评级：

二、解析

解法 1

因为，当 $x \to 0$ 时：

$$
\left[ \int_{0}^{x^{2}} \left( \mathrm{e}^{t^{3}} – 1 \right) \mathrm{~d}t \right]^{\prime} = 2 x \left( \mathrm{e}^{x^{6}} – 1 \right) \sim 2 x \cdot x^{6} \sim 2 x^{7}
$$

根据求导会降阶，积分会升阶的原理，可知 $\int_{0}^{x^{2}} \left( \mathrm{e}^{t^{3}} – 1 \right) \mathrm{~d}t$ 是 $x^{7}$ 高阶无穷小.

综上可知，本 题 应 选 C

解法 2

为了降低计算的复杂度，也可以直接对被积函数做等价无穷小替换，因此（$x \to 0$）：

$$
\left[\int_{0}^{x^{2}} \left(\mathrm{e}^{t^{3}} – 1\right) \mathrm{~d} t \right]^{\prime} = \left[\int_{0}^{x^{2}} t^{3} \mathrm{~d} t \right]^{\prime} = 2x \cdot x^{6} \sim 2x^{7}
$$

所以 $\int_{0}^{x^{2}} \left(e^{t^{3}} – 1\right) \mathrm{~d} t$ 为 $x^{7}$ 的高阶无穷小.

综上可知，本 题 应 选 C

解法 3

利用等价无穷小公式进行化简，化简之后不求导，直接进行积分运算：

$$
\int_{0}^{x^{2}} \left(e^{t^{3}} – 1\right) \mathrm{~d} t \sim \int_{0}^{x^{2}} t^{3} \mathrm{~d} t = \frac{1}{4} x^{8} \left(x \to 0\right)
$$

所以 $\int_{0}^{x^{2}} \left(e^{t^{3}} – 1\right) \mathrm{~d} t$ 为 $x^{7}$ 的高阶无穷小.

综上可知，本 题 应 选 C

解法 4

根据洛必达法则，通过分子分母同时求导完成求解：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \left(\mathrm{e}^{t^{3}} – 1\right) \mathrm{~d} t}{x^{7}} = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{\left(x^{2}\right)^{3}} – 1\right) 2x}{7x^{6}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^{7}}{7x^{6}} = 0
$$

于是，根据高阶无穷小的定义可知，$\int_{0}^{x^{2}} \left(e^{t^{3}} – 1\right) \mathrm{~d} t$ 为 $x^{7}$ 的高阶无穷小.

综上可知，本 题 应 选 C

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