2025年考研数二第22题解析：合同矩阵、相似矩阵、正交矩阵

一、题目

难度评级：

二、解析

第（1）问：解法 1

由于实对称矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 合同，所以矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 具有相同的正负惯性指数（为正数的特征值数量相等，为负数的特征值数量相等，为零的特征值数量也相等，当然，由合同矩阵的性质可知，只要互为合同矩阵就具有这个正负惯性指数相同的性质，与是否是实对称矩阵无关），于是可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的秩相同，即：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) = r \left( \boldsymbol{B} \right)
$$

又因为：

$$
r \left( \boldsymbol{B} \right) \leqslant 2
$$

所以：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) \leqslant 2 \tag{1}
$$

接着，观察可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行和第二行不对应成比例，所以：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) \geqslant 2 \tag{2}
$$

结合上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可知：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) = 2
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{vmatrix}
4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a
\end{vmatrix} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \overset{r_{1} – r_{2}}{\underset{r_{3} – r_{2}}{\xlongequal{\qquad}}}
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -3 & 0 & a – 1
\end{vmatrix} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ 3 \left( a – 1 \right) – 9 = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{a = 4}
\end{aligned}
$$

由 $a = 4$ 可知：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a
\end{pmatrix}
$$

于是，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应的特征值为：

$$
\begin{aligned}
& \ \left| \lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \right| \\ \\
= & \ \begin{vmatrix}
\lambda – 4 & -1 & 2 \\ -1 & \lambda – 1 & -1 \\ 2 & -1 & \lambda – 4
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{r_{1} – r_{3}}
& \ \begin{vmatrix}
\lambda – 6 & 0 & 6 – \lambda \\ -1 & \lambda – 1 & -1 \\ 2 & -1 & \lambda – 4
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{c_{3} + c_{1}}
& \ \begin{vmatrix}
\lambda – 6 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda – 1 & -2 \\ 2 & -1 & \lambda – 2
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \left( \lambda – 6 \right) \left[ \left( \lambda – 1 \right) \left( \lambda – 2 \right) – 2 \right] \\ \\
= & \ \lambda \left( \lambda – 3 \right) \left( \lambda – 6 \right) = 0
\end{aligned}
$$

于是可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1} = 3，\lambda_{2} = 6，\lambda_{3} = 0$.

又因为矩阵 $\boldsymbol{B}$ 为对角阵，所以其特征值分别为 $\mu_{1} = k，\mu_{2} = 6，\mu_{3} = 0$.

综上，由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的正、负特征值的个数相同，所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
k > 0
}
$$

第（1）问：解法 2

由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，可知，这两个矩阵有相同的正负惯性指数.

又因为矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是对角矩阵，所以其特征值为 $k, 6, 0$.

因此，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 至少有一个特征值是 $0$.

于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|\boldsymbol{A}\right| = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ -3\left(a-4\right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ a = 4 }
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\left|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right|=\lambda\left(\lambda-3\right)\left(\lambda-6\right)
$$

所以可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $3, 6, 0$, 正惯性指数为 $2$.

因此，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的合同矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的正惯性指数也是 $2$, 所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
k>0
}
$$

第（2）问

由于正交矩阵是转置运算和逆运算的“桥梁”，所以，若存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$ 成立，则下式一定也成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} \tag{3}
$$

由上面的 $(3)$ 式可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相似，因此矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值相同.

从第（1）问的计算结果可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为：

$$
3, 6, 0
$$

所以，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值 $k, 6, 0$ 中的 $k$ 就是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
k = 3
}
$$

有了矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值，就可以求解每个特征值对应的特征向量：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $\lambda_{1} = 3$ 时，有：

$$
3 \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & \textcolor{tan}{-1} \\ 0 & 1 & \textcolor{tan}{-1} \\ 0 & 0 & \textcolor{tan}{0}
\end{pmatrix}
$$

解得特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ \textcolor{tan}{1}
\end{pmatrix}$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $\lambda_{2} = 6$ 时，有：

$$
6 \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -1 \\ 2 & -1 & 2
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & \textcolor{tan}{1} \\ 0 & 1 & \textcolor{tan}{0} \\ 0 & 0 & \textcolor{tan}{0}
\end{pmatrix}
$$

解得特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ \textcolor{tan}{1} \end{array} \right)$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $\lambda_{3} = 0$ 时，有：

$$
0 \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 4
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & \textcolor{tan}{-1} \\ 0 & 1 & \textcolor{tan}{2} \\ 0 & 0 & \textcolor{tan}{0}
\end{pmatrix}
$$

解得特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ \textcolor{tan}{1}
\end{pmatrix}$

接着，将特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 单位化（即分别除以 $\left| \boldsymbol{\alpha}_{1} \right|, \left| \boldsymbol{\alpha}_{2} \right|, \left| \boldsymbol{\alpha}_{3} \right|$）即可得到所需的正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$:

$$
\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
\textcolor{lightgreen}{ \dfrac{ \boldsymbol{\alpha}_{1}}{\left| \boldsymbol{\alpha}_{1} \right|} }, \textcolor{pink}{ \dfrac{\boldsymbol{\alpha}_{2}}{\left| \boldsymbol{\alpha}_{2} \right|} }, \textcolor{yellow}{ \dfrac{\boldsymbol{\alpha}_{3}}{\left| \boldsymbol{\alpha}_{3} \right|} } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\textcolor{lightgreen}{ \dfrac{1}{\sqrt{3}} } & \textcolor{pink}{ – \dfrac{1}{\sqrt{2}} } & \textcolor{yellow}{ \dfrac{1}{\sqrt{6}} } \\ \textcolor{lightgreen}{ \dfrac{1}{\sqrt{3}} } & \textcolor{pink}{ 0 } & \textcolor{yellow}{ – \dfrac{2}{\sqrt{6}} } \\ \textcolor{lightgreen}{ \dfrac{1}{\sqrt{3}} } & \textcolor{pink}{ \dfrac{1}{\sqrt{2}} } & \textcolor{yellow}{ \dfrac{1}{\sqrt{6}} }
\end{pmatrix}
$$

则 $\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$.

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