2025年考研数二第10题解析：线性方程组的解、矩阵的可逆性

一、题目

»A«. 方程组 $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}=0$ 只有零解

»B«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 均只有零解

»C«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 没有公共非零解

»D«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 有公共非零解

二、解析

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵，则：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = 3 \\
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \right) = 3
\end{aligned}
$$

由于：

$$
3 \neq 3 + 1
$$

所以，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵，则：

$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right) + 1
$$

于是可知，若 $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right) + 1$ 成立，则矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均不可逆，即：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) < 3 \\
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \right) < 3
\end{aligned} \quad \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \quad \begin{aligned}
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) \leqslant 2 \\
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \right) \leqslant 2
\end{aligned}
$$

所以，根据矩阵乘法与矩阵的秩之间的关系，可知：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \leqslant 2 \\
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right) \leqslant 2
\end{aligned}
$$

又由 $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right) + 1$, 得：

$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)+1=\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right)
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)+1=\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right)\leqslant 2 \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)\leqslant 1
\end{aligned}
$$

综上，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \leqslant 2 \\
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right) \leqslant 1
\end{aligned}
}
$$

于是，只要我们构造出的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 能够满足 $\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{r} \left( \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} \right) \leqslant 1 }$, $\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) \leqslant 2 }$ 这个条件，就符合题目的要求，就能据此至少找出一个正确的选项（根据所构造的矩阵的不同，有可能会根据所构造的矩阵找出两个或者以上个数的“正确”选项，如果产生了这样的情况，就需要重新构造其他的特例矩阵）.

综上，由于当 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 时，$\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{r} \left( \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} \right) = 1 \leqslant 1 }$, $\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) = 1 \leqslant 2 }$, 所以，令 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 这个特例符合题目要求.

A 选项

由于：

$$
\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

于是可知：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} \right) = 1 < 3
$$

因此可知，方程组 $\left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} \right) \boldsymbol{x} = 0$ 有非零解，A 选项错误.

B 选项

由于 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = 1 < 3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\right) = 1 < 3$, 所以，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=0$ 均有非零解，B 选项错误.

C 选项

由于：

$$
\mathbf{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 1 < 3
$$

于是可知，方程组 $\begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = 0 \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0 \end{cases}$ 有非零解，因此方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 有非零公共解，C 选项错误.

D 选项

首先，由矩阵乘法运算中秩的性质，可知：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right) \leqslant \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right) \leqslant 1 \\
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) \leqslant \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right) \leqslant 1
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
\end{pmatrix} & \leqslant \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} \right) + \mathbf{r} \left( \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \right) \\ \\
& \leqslant 1 + 1 = 2
\end{aligned}
$$

因此，方程组 $\begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0 \\ \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0 \end{cases}$ 有非零解，所以，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 有公共非零解，D 选项正确.

综上可知，本 题 应 选 D

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