2026年考研数二第04题解析：定积分的物理应用

一、题目

难度评级：

二、解析

首先，根据题目信息，我们可以在坐标系中绘制出如下示意图：

在上面的示意图中，可以看到细直棒位于 $x$ 轴 $[-1, 1]$ 区间上，我们可以将该细棒上任意的 $(x, \mathrm{d} x)$ 区间作为一个微元，可知该微元的长度为 $\mathrm{d}x$.

并且，由图 01 可知，质点 $m$ 和细棒上的微元这两个质点（微元也可以看作一个质点）之间的距离为：

$$
r = \sqrt{x^{2} + 1^{2}} = \sqrt{x^{2} + 1}
$$

接着，由万有引力定律可知，引力的微元 $\mathrm{d} F$ 可表示为：

$$
\mathrm{d}F = G\cdot\dfrac{m\mathrm{d} x}{r^{2}} = G\cdot\dfrac{m\mathrm{d}x}{\left(1+x^{2}\right)}
$$

由于质点 $m$ 所受到的来自细棒的所有方向的力都可以分解为 $X$ 轴方向和 $Y$ 轴方向上的分力，所以，我们接下来按照这两个方向，对质点 $m$ 的受力进行分析：

1. 在 $X$ 轴方向：

由于细棒关于 $Y$ 轴对称，质点 $m$ 正处于 $Y$ 轴之上，所以，根据力的分解的三角函数关系，质点 $m$ 在 $X$ 轴方向上受到来自细棒的引力总和为 $0$, 即：

$$
F_{x}^{1} = – F_{x}^{2}
$$

2. 在 $Y$ 轴方向：

同样，根据力的分解的三角函数关系，细棒上引力微元对质点 $m$ 形成的引力的 $Y$ 轴分量为：

$$
\mathrm{d}F_{y} = \mathrm{d} F \cos \theta
$$

其中 $\cos\theta = \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ （$\theta$ 是引力方向与 $y$ 轴的夹角）.

因此，$Y$ 轴方向的引力微元可以表示为：

$$
\mathrm{d}F_{y} = G\dfrac{m\mathrm{d}x}{1+x^{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} = \dfrac{Gm\mathrm{d}x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

于是可知，区间 $[-1, 0]$ 上的细棒对质点 $m$ 产生的引力，可以通过积分表示为：

$$
F^{1}_{y} = \int_{-1}^{0} \dfrac{Gm\mathrm{d}x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

区间 $[0, 1]$ 上的细棒对质点 $m$ 产生的引力，可以通过积分表示为：

$$
F^{2}_{y} = \int_{0}^{1} \dfrac{Gm\mathrm{d}x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

并且，根据对称性可知，区间 $[-1,0]$ 和区间 $[0,1]$ 上的细棒对质点 $m$ 产生的 $Y$ 轴方向上的引力大小和方向都相同，即：

$$
F^{1}_{y} = F^{2}_{y}
$$

于是，总的引力就可以表示为：

$$
\textcolor{lightgreen}{ F } = 2F^{2}_{y} = \textcolor{lightgreen}{ 2 \int_{0}^{1} \dfrac{Gm}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{~d}x }
$$

综上可知，本 题 应 选 D

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