二维连续型随机变量的几何意义是什么？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过对二维连续型随机变量几何意义的解释，让同学们能够建立对二维连续型随机变量更直观的理解。

二、正文

我们知道，二维连续型随机变量的分布函数 $F$ 是通过对非负可积的二维联合密度函数 $p$ 进行二重积分得到的，即：

$$
F(x, y) = \int_{- \infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} p(u, v) \mathrm{~d} u \mathrm{d} v
$$

因此，根据二重积分的几何意义可知，二维连续型随机变量的分布函数 $F$ 与三维坐标系 $XY$ 平面所围成的立体就是二维连续型随机变量的几何意义——随机变量在该立体中由坐标轴的负无穷大向正无穷大方向上所对应的立体中的体积就是该随机事件发生的可能性，如图 01 所示。

从图 01 中还可以看到，二维分布函数 $F$ 的函数图像是一个曲面。根据二维随机事件的性质可知，该曲面与 $XY$ 平面所围成的立体的体积等于 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ 1 }}$, 也就是所有可能事件发生的总概率为 $100 \%$, 或者说，所有可能发生的事件一定都会落在这个由分布函数 $F$ 和平面 $XY$ 所围成的立体之中，即：

$$
F(x, y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{-\infty}^{+ \infty} p(u, v) \mathrm{~d} u \mathrm{d} v = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ 1 }}
$$

---

图 01 使用 Octave 生成，所用的代码为：

% 定义均值向量和协方差矩阵
mu = [40; 60]; % 均值向量，表示正态分布的中心点
sigma = [100, 30; 30, 140]; % 协方差矩阵，定义变量之间的关系和分布的形状

% 计算协方差矩阵的逆和行列式
isigma = inv(sigma); % 计算协方差矩阵的逆，用于后续概率密度的计算
detsigma = det(sigma); % 计算协方差矩阵的行列式，用于归一化常数的计算

% 计算归一化常数系数
coeff = 1 / (2 * pi * sqrt(detsigma)); % 正态分布的归一化常数，确保总概率为 1

% 初始化概率密度矩阵 p
p = zeros(100, 100); % 创建一个 100x100 的矩阵，用于存储每个点的概率密度值

% 双重循环计算每个点的概率密度值
for i = 1:100
    for j = 1:100
        x = [i; j]; % 当前点的坐标
        xm = x - mu; % 计算当前点与均值的差值
        p(i,j) = exp(-0.5 * xm' * isigma * xm); % 根据公式计算概率密度并存储
    end
end

% 归一化概率密度矩阵
p = p * coeff; % 将概率密度值乘以归一化常数，得到最终的概率密度

% 绘制图像
[X, Y] = meshgrid(1:100, 1:100); % 创建一个网格，X 和 Y 分别为网格的坐标
figure; % 创建新图形窗口
surf(X, Y, p); % 绘制三维曲面图，显示概率密度函数
xlabel('X'); % 标注 X 轴
ylabel('Y'); % 标注 Y 轴
zlabel('Probability Density'); % 标注 Z 轴为概率密度
title('2D Gaussian Distribution - zhaokaifeng.com'); % 图形标题
colorbar; % 显示颜色条，表示概率密度的值