如何表示最后两位都是 $1$ 的任意一个数字？

一、题目

任取一整数 $K$, 请求解数字 $K^{3}$ 的最后两位数字均为 $1$ 的概率。

难度评级：

二、解析

首先，记事件 $A$ 为“$K^{3}$ 的最后两个数字均为 $1$”这一事件。

如果 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$, $x_{n}$ 可以取 $0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $9$ 这十个数字中的任意一个值，则数字 $K$ 可以表示为：

$$
K = x_{1} + 10 x_{2} + 100 x_{3} + \cdots
$$

其中，$x_{1}$ 是数字 $K$ 的“个位”，$10 x_{2}$ 是数字 $K$ 的“十位”，$100 x_{3}$ 是数字 $K$ 的百位，依此类推。

由于 $K$ 的千位上的 $100 x_{3}$ 在个位和十位上都是 $0$, 无论是经过一次方运算、二次方运算，还是三次方运算后，都只能为 $K^{3}$ 的个位和十位提供 $0$, 所以在这里不用考虑 $100 x_{3}$.

但是，$K$ 的十位上的 $10 x_{2}$ 却可能在经过一次方运算之后，为 $K^{3}$ 的十位提供非零数字，所以，对于 $K^{3}$ 的个位和十位的分析，只需要考虑 $x_{1}$ 和 $10 x_{2}$ 即可：

$$
\begin{aligned}
K^{3} & = \left( x_{1} + 10 x_{2} + \cdots \right)^{3}
\end{aligned}
$$

接着，根据三次多项式的展开式公式可得：

$$
\begin{aligned}
& \left( x_{1} + 10 x_{2} \right)^{3} \\ \\
= & \ x_{1}^{3} + (10x_{2})^{3} + 3 \cdot x_{1}^{2} \cdot 10 x_{2} + 3 \cdot x_{1} \cdot (10 x_{2})^{2} \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{x_{1}^{3}} + \textcolor{orangered}{(10x_{2})^{3}} + \textcolor{springgreen}{30 x_{1}^{2} x_{2}} + \textcolor{orangered}{300 x_{1} x_{2}^{2}}
\end{aligned} \tag{1}
$$

在上面的式子 $(1)$ 中，$\textcolor{orangered}{(10x_{2})^{3}}$ 必然会产生个位、十位和千位都等于零的数字，$\textcolor{orangered}{300 x_{1} x_{2}^{2}}$ 也会产生个位和十位都等于零的数字，所以，对 $K^{3}$ 个位和十位是否都等于 $1$ 的判断，只需要考虑式子 $(1)$ 中的 $\textcolor{springgreen}{x_{1}^{3}}$ 和 $\textcolor{springgreen}{30 x_{1}^{2} x_{2}}$, 可记为：

$$
\textcolor{springgreen}{
K^{3} = x_{1}^{3} + 30 x_{1}^{2} x_{2} + \cdots \tag{2}
}
$$

由式子 $(2)$ 知，数字 $K^{3}$ 的个位和十位，仅由 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 决定，由于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 都可能是 $0$ 到 $9$ 这十个数字中的任何一个，于是，所有可能的组合，或者说样本点总数就是：

$$
10 \cdot 10 = 100
$$

由于 $\textcolor{springgreen}{x_{1}^{3}}$ 能决定 $K^{3}$ 的个位或者个位和十位，$\textcolor{springgreen}{30 x_{1}^{2} x_{2}}$ 不能决定 $K^{3}$ 的个位，只能参与决定 $K^{3}$ 的十位，所以，$K^{3}$ 的个位只由 $\textcolor{springgreen}{x_{1}^{3}}$ 自己决定。

又因为在 $0$ 到 $9$ 这十个数字中，只有数字 $1$ 的三次方所得的数字的个位是 $1$, 所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
x_{1} = 1
}
$$

于是：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
K^{3} \\ \\
= & \ x_{1}^{3} + 30 x_{1}^{2} x_{2} + \cdots \\ \\
= & \ 1 + 30 x_{2} + \cdots
\end{aligned}
}
$$

于是可知，我们此时已经确定了 $K^{3}$ 的个位，接着只需要确定 $K^{3}$ 的十位，或者说比 $K^{3}$ 少一位的数字的个位——

为了让 $K^{3}$ 减少一个位，可以先减去其个位数字：

$$
K^{3} – 1
$$

之后，再除以 $\textcolor{magenta}{10}$, 即可得到比 $K^{3}$ 少一位的数字, 即：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& K^{3} = 1 + 30 x_{2} \\ \\
\Rightarrow & \ K^{3} – 1 = 30 x_{2} \\ \\
\Rightarrow & \ \frac{K^{3} – 1}{\textcolor{magenta}{10}} = \frac{30 x_{2}}{\textcolor{magenta}{10}} \\ \\
\Rightarrow & \ \frac{K^{3} – 1}{10} = 3 x_{2}
\end{aligned}
}
$$

于是可知，我们接下来只需要考虑如何让 $\frac{K^{3} – 1}{10}$ 这个数字的个位为 $1$ 即可，也就是让 $3 x_{2}$ 的个位为 $1$ 即可，因此，只能有：

$$
\textcolor{springgreen}{
x_{2} = 7
}
$$

于是可知，使得事件 $A$（即 $K^{3}$ 的最后两个数字均为 $1$ 这一事件）发生的可能性只有 $x_{1}$ $=$ $1$ 且 $x_{2}$ $=$ $7$ 这一种情况，可能发生的次数为：

$$
1 \times 1 = 1
$$

于是，事件 $A$ 发生的概率为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
P(A) = \frac{1}{100} = 0.01
}
}
$$

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