范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$
D _{ n } = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x _{ 1 } & x _{ 2 } & x _{ 3 } & \cdots & x _{ n } \\
x _{ 1 } ^ { 2 } & x _{ 2 } ^ { 2 } & x _{ 3 } ^ { 2 } & \cdots & x _{ n } ^ { 2 } \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x _{ 1 } ^ { n – 1 } & x _{ 2 } ^ { n – 1 } & x _{ 3 } ^ { n – 1 } & \cdots & x _{ n } ^ { n – 1 }
\end{vmatrix}
$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$
D _{ n } = \prod _{ 1 \leqslant j < i \leqslant n } \left( x _{ i } – x _{ j } \right)
$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

二、正文

准备工作

什么样的行列式可以尝试转换为范德蒙行列式？

当看到一个具体型行列式满足下面几个特征中的一个或者全部的时候，就要尝试将该行列式的全部或者部分转换为范德蒙行列式：

Note

针对上面这些特征，可以通过荒原之梦考研数学的这道题目练习一下。

zhaokaifeng.com

§1.1 题目一

§1.2 解析一

$$
\begin{aligned}
& |K_{1}| \\ \\
= & \begin{vmatrix}
1 & a & b c \\
1 & b & a c \\
1 & c & a b
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{第 \ 1 \ 行乘以 \ a} \frac{1}{a} & \begin{vmatrix}
a & a^{2} & a b c \\
1 & b & a c \\
1 & c & a b
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{第 \ 2 \ 行乘以 \ b} \frac{1}{ab} & \begin{vmatrix}
a & a^{2} & a b c \\
b & b^{2} & a b c \\
1 & c & a b
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{第 \ 2 \ 行乘以 \ c} \frac{1}{abc} & \begin{vmatrix}
a & a^{2} & \textcolor{pink}{a b c} \\
b & b^{2} & \textcolor{pink}{a b c} \\
c & c^{2} & \textcolor{pink}{a b c}
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{提取第 \ 3 \ 列的 \ \textcolor{pink}{abc}} \frac{1}{abc} \cdot \textcolor{pink}{abc} & \begin{vmatrix}
a & a^{2} & \textcolor{pink}{1} \\
b & b^{2} & \textcolor{pink}{1} \\
c & c^{2} & \textcolor{pink}{1}
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{第 \ 1 \ 列和第 \ 3 \ 列交换} (-1) \cdot & \begin{vmatrix}
1 & a^{2} & a \\
1 & b^{2} & b \\
1 & c^{2} & c
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{第 \ 2 \ 列和第 \ 3 \ 列交换} (-1) \cdot (-1) \cdot & \begin{vmatrix}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \begin{vmatrix}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{转置不会改变行列式的值} & \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^{2} & b^{2} & c^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{范德蒙行列式计算公式} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{(b-a)(c-a)(c-b)}}
\end{aligned}
$$

§2.1 题目二

§2.2 解析二

首先，对行列式 $|K_{2}|$ 进行拆分：

$$
\begin{aligned}
& |K_{2}| \\ \\
= & \begin{vmatrix}
1 & a & \textcolor{springgreen}{b c} + \textcolor{magenta}{a ^ { 2 }} \\
1 & b & \textcolor{springgreen}{a c} + \textcolor{magenta}{b ^ { 2 }} \\
1 & c & \textcolor{springgreen}{a b} + \textcolor{magenta}{c ^ { 2 }}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \begin{vmatrix}
1 & a & \textcolor{springgreen}{b c} \\
1 & b & \textcolor{springgreen}{a c} \\
1 & c & \textcolor{springgreen}{a b}
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
1 & a & \textcolor{magenta}{a ^ { 2 }} \\
1 & b & \textcolor{magenta}{b ^ { 2 }} \\
1 & c & \textcolor{magenta}{c ^ { 2 }}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

又由“题目一”得结论可知：

$$
\begin{vmatrix}
1 & a & \textcolor{springgreen}{b c} \\
1 & b & \textcolor{springgreen}{a c} \\
1 & c & \textcolor{springgreen}{a b}
\end{vmatrix} = \textcolor{springgreen}{(b-a)(c-a)(c-b)}
$$

且根据范德蒙行列式得计算公式，以及转置运算不会改变行列式得值，可得：

$$
\begin{vmatrix}
1 & a & \textcolor{magenta}{a ^ { 2 }} \\
1 & b & \textcolor{magenta}{b ^ { 2 }} \\
1 & c & \textcolor{magenta}{c ^ { 2 }}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
\textcolor{magenta}{a ^{2}} & \textcolor{magenta}{b ^{2}} & \textcolor{magenta}{c ^{2}}
\end{vmatrix} = \textcolor{springgreen}{(b-a)(c-a)(c-b)}
$$

综上：

$$
|K_{2}| = \textcolor{springgreen}{2 \cdot \boldsymbol{(b-a)(c-a)(c-b)}}
$$

§3.1 题目三

§3.2 解析三

由于第 $1$ 行加上第 $2$ 行可以产生 $a$ $+$ $b$ $+$ $c$ $+$ $d$, 于是：

$$
\begin{aligned}
& |K_{3}| \\ \\
= & \begin{vmatrix}
b + c + d & a + c + d & a + b + d & a + b + c \\
\textcolor{springgreen}{a} & \textcolor{pink}{b} & \textcolor{orangered}{c} & \textcolor{yellow}{d} \\
a ^ { 2 } & b ^ { 2 } & c ^ { 2 } & d ^ { 2 } \\
a ^ { 3 } & b ^ { 3 } & c ^ { 3 } & d ^ { 3 }
\end{vmatrix} \\ \\
= & \begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{a} + b + c + d & a + \textcolor{pink}{b} + c + d & a + b + \textcolor{orangered}{c} + d & a + b + c + \textcolor{yellow}{d} \\
\textcolor{springgreen}{a} & \textcolor{pink}{b} & \textcolor{orangered}{c} & \textcolor{yellow}{d} \\
a ^ { 2 } & b ^ { 2 } & c ^ { 2 } & d ^ { 2 } \\
a ^ { 3 } & b ^ { 3 } & c ^ { 3 } & d ^ { 3 }
\end{vmatrix} \\ \\
= & (a+b+c+d) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & b & c & d \\
a ^ { 2 } & b ^ { 2 } & c ^ { 2 } & d ^ { 2 } \\
a ^ { 3 } & b ^ { 3 } & c ^ { 3 } & d ^ { 3 }
\end{vmatrix} \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ (a+b+c+d) \cdot (b-a) (c-a) (d-a) (c-b) (d – b) (d -c) }}
\end{aligned}
$$

§4.1 题目四

§4.2 解析四

观察可知：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
(-2) ^{2} = 4 \\
(-3) ^{2} = 9 \\
\end{cases} \\ \\
& \begin{cases}
(-2) ^{3} = -8 \\
(-3) ^{3} = -27
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& |K_{4}| \\ \\
= & \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
– 2 & – 3 & – 4 & – 5 \\
4 & 9 & 16 & 25 \\
– 8 & – 27 & – 64 & – 125
\end{vmatrix} \\ \\
= & \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
– 2 & – 3 & – 4 & – 5 \\
(-2) ^{2} & (-3) ^{2} & (-4) ^{2} & (-5) ^{2} \\
(-2) ^{3} & (-3) ^{3} & (-4) ^{3} & (-5) ^{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & (-3+2) (-4 + 2) (-5 + 2) (-4+3) (-5+3) (-5+4) \\ \\
= & (-1) (-2) (-3) (-1) (-2) (-1) \\ \\
= & (-2) (-3) (-2) (-1) \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{12}} \\ \\
\end{aligned}
$$

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