2014 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

设随机事件 [latex]A[/latex] 与 [latex]B[/latex] 相互独立,且 [latex]P(B)=0.5,P(A-B)=0.3[/latex], 则 [latex]P(B-A)=[/latex] ( )

( A ) [latex]0.1[/latex]

( B ) [latex]0.2[/latex]

( C ) [latex]0.3[/latex]

( D ) [latex]0.4[/latex]

解析

本题的关键点是“相互独立”,即 [latex]A[/latex] 事件与 [latex]B[/latex] 事件是两个相互独立的事件,[latex]A[/latex] 事件的发生不会影响 [latex]B[/latex], [latex]B[/latex] 事件的发生也不会影响 [latex]A[/latex]. 由于 [latex]A[/latex] 事件的发生与否都不影响 [latex]B[/latex] 事件的发生与否,由此我们知道,若 [latex]A[/latex] 与 [latex]B[/latex] 相互独立,那么 [latex]A[/latex] 与 [latex]\bar{B}[/latex] 也相互独立,[latex]B[/latex] 与 [latex]\bar{A}[/latex] 同样相互独立。因此,我们可以在接下来的计算中,使用带有 [latex]\bar{A}[/latex] 和 [latex]\bar{B}[/latex] 的式子代替带有 [latex]A[/latex] 与 [latex]B[/latex] 的式子进行化简。

根据概率论中关于事件的独立性方面的相关知识,我们知道:

[latex]A[/latex]与 [latex]B[/latex] 相互独立 [latex]\Leftrightarrow[/latex] [latex]P(AB)=P(A)P(B)[/latex].

综上,于是有:

[latex]P(AB)=P(A)P(B)[/latex];

[latex]P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B})[/latex];

[latex]P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B)[/latex];

根据概率论减法公式,我们知道(这个公式没有设置 [latex]A[/latex] 和 [latex]B[/latex] 的关系,即是说,只要 [latex]A[/latex] 和 [latex]B[/latex] 是两个事件就是用这个公式计算,自然也可以应用于相互独立的事件。):

[latex]P(B-A)=P(B)-P(AB)[/latex].

题目中给出的条件有:

[latex]P(B)=0.5,P(A-B)=0.3[/latex]

根据逆事件(对立事件)的知识,我们还知道:

[latex]P(\bar{B})=1-P(B)=0.5[/latex];

[latex]P(B)=1-P(\bar{B})=0.5[/latex].

于是,将 [latex]P(A-B)[/latex] 中的 [latex]B[/latex] 用 [latex]\bar{B}[/latex] 替换后得到:

[latex]P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P[A(1-\bar{B})]=P(A)-P(A-A \bar{B})=P(A)-[P(A)-P(AA \bar{B})]=P(A)-P(A)+P(A \bar{B})=P(A \bar{B})=P(A)P(\bar{B})=P(A) \cdot 0.5 = 0.3[/latex].

注:由于 [latex]A \cap A = A[/latex], 即 [latex]AA=A[/latex], 所以:[latex]P(A)-P(AA \bar{B})=P(A)-P(A \bar{B})[/latex], 下面的类似计算过程中将省略这一步。

于是有:[latex]P(A)=\frac{0.3}{0.5}=0.6[/latex].

又因为:

[latex]P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P[(1- \bar{A})B]=P(B)-P(B-\bar{A}B)=P(B)-P(B)+P(\bar{A}B)=P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B)[/latex].

由于,[latex]P(A)=0.6[/latex], 则,[latex]P(\bar{A})=0.4[/latex].

于是有:

[latex]P(B-A)=P(\bar{A})P(B)=0.4 \cdot 0.5=0.2[/latex].

综上可知,本题的正确选项是:B

一个错误的解法

本文开头提到了,本题的关键点是“相互独立”。如果没有注意到这个关键点会发生什么呢?没有注意到这个关键点的话,可能会出现如下错误的思考方式和解法。

在概率论中有一个公式是下面这样的:

[latex]P(B-A)=P(B)-P(A)[/latex].

如果根据这个公式计算,那么本题将十分简单(数学一中不会出这么“直观”的题吧 :-)):

已知:[latex]P(B)=0.5,P(A-B)=0.3[/latex], 那么:

[latex]P(A-B)=P(A)-P(B)=P(A)-0.5=0.3 \Rightarrow P(A)=0.8 \Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A)=0.5-0.8=-0.3[/latex].

但是,我们观察选项可知,并没有哪个选项是 [latex]-0.3[/latex], 而且 [latex]P(B-A)=P(B)-P(A)[/latex] 这个公式是有前提条件的,那就是:

[latex]A \subset B[/latex].

很显然,在独立事件中,不可能出现 [latex]A \subset B[/latex] 或者 [latex]B \subset A[/latex] 的情况。

因此我们知道,在使用一个公式前,一定要仔细审查,确保该公式的适用范围符合当前的解题环境,不能只是因为题目中的参数可以和公式中的参数对应就直接拿来使用。

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