复合函数求偏导:没“偏”谁就把谁先代进去

题目一

难度评级:

解析一

对 $x$ 求偏导,则 $y$ 看作常数,可以先将 $y = 0$ 代入原式,则有:

$$
z=(x+1)^{x}
$$

对幂指函数求导,最好将其转为对数函数或者含有 $e$ 的函数,因此,有:

$$
z=e^{x \ln (x+1)}
$$

求偏导:

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)} \\
& = \left.e^{x \ln (x+1)}\left[\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}\right]\right|_{(1,0)} \\
& = 2\left(\ln 2+\frac{1}{2}\right) \\
& = 2 \ln 2+1
\end{aligned}
$$

题目二

难度评级:

解析二

首先,将 $x=0$, $y=2$ 代入 $(x+1) z$ $+$ $y \ln z$ $-$ $\arctan (2 x y)$ $=$ $1$, 得:

$$
z+2 \ln z – 0 = 1 \Rightarrow z = 1
$$

由于 $y$ 与 $x$ 和 $z$ 都无关,因此,可以先把 $y = 2$ 代入 $(x+1) z$ $+$ $y \ln z$ $-$ $\arctan (2 x y)$ $=$ $1$, 得:

$$
(x+1) z + 2 \ln z – \arctan (4 x) = 1 \tag{1}
$$

对上面的 (1) 式求 $x$ 的偏导,得:

$$
z+(x+1) z_{x}^{\prime}+2 \frac{z_{x}^{\prime}}{z}-4 \frac{1}{1+(4 x)^{2}}=0 \tag{2}
$$

将 $\begin{cases}
x = 0 \\
y = 2 \\
z = 1
\end{cases}$ 代入上面的 (2) 式,得:

$$
1+z_{x}^{\prime}+2 z_{x}^{\prime}-4=0
$$

进而可得:

$$
z_{x}^{\prime} = \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)} = 1
$$


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