使用 e 抬起运算法的注意事项:分清楚数字 1 和极限 1

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,分析可知,$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ 和 $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$ 都是 $1^{\infty}$ 形式的式子,因此,可以尝试分别使用 “$e$ 抬起” 运算法:

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left( 1 + \frac{x+2 a}{x-a} – 1 \right)^{2 x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3 a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3 a}}\right]^{2 x \cdot \frac{3 a}{x-a}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 x \cdot \frac{3 a}{x-a}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 x \cdot \frac{3 a}{x}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{6 a}
\end{aligned}
$$

又:

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}} \\ \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0}\left\{[1+(-2 t)]^{-\frac{1}{2 t}}\right\}^{-\frac{2 t}{\sin t}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{-2}
\end{aligned}
$$

由题可知:

$$
\mathrm{e}^{6 a} = \mathrm{e}^{-2}
$$

因此:

$$
a = -\frac{1}{3}
$$


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