当抽象矩阵的逆运算和伴随矩阵运算出现常数该怎么处理？

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $|A| = \frac{1}{2}$, 则行列式：

$$
|(2 A)^{-1} – (2A)^{*}| = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，我们审题要认真，题目要我们求解的是：

$$
\textcolor{springgreen}{
|(2 A)^{-1} – (2A)^{*}| } = ?
$$

而不是：

$$
\textcolor{orangered}{
|(2 A^{-1}) – (2A^{*})| } = ?
$$

对于包含常数的抽象矩阵的运算，我们还需要掌握如下运算法则（其中，$k$ 为常数，$A$ 为 $n$ 阶矩阵）：

$$
\textcolor{yellow}{
n \geqslant 2 \Rightarrow
(k A)^{*}=k^{n-1} A^{*}=k^{n-1} \cdot |A| \cdot A^{-1}
}
$$

$$
\textcolor{yellow}{
A \text{ 可逆 } \Rightarrow
\begin{cases}
|(k A)|=k^{n}|A| \\ \\
\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} \\ \\
\left|(k A)^{-1}\right|=\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{|A|} \\ \\
\left|k^{-1}\right|=\frac{1}{k}
\end{cases}
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\left|(2 A)^{-1}-(2 A)^{*}\right|} \\ \\
& = \left|\frac{1}{2} A^{-1}-2^{3-1} A^{*}\right| \\ \\
& = \left|\frac{1}{2} A^{-1}-4| A|A^{-1}\right| \\ \\
& = \left|A^{-1} \left(\frac{1}{2} – 4 |A| \right) \right| \\ \\
& = \left|A^{-1}\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{2}\right)\right| \\ \\
& = \left|\frac{-3}{2} A^{-1}\right| \\ \\
& = \left(\frac{-3}{2}\right)^{3}\left|A^{-1}\right| \\ \\
& = \left(\frac{-3}{2}\right)^{3} \cdot \frac{1}{|A|} = \textcolor{springgreen}{ \frac{-27}{4} }
\end{aligned}
$$

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