二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩

一、题目

已知二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} – 2x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$, 则 $a = ?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\begin{aligned}
f \\
& = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} – 2x_{3})^{2} + (x_{2} + a x_{3})^{2} \\
& = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} + 4 x_{3}^{2} – 4 x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + a^{2} x_{3}^{2} + 2 a x_{2} x_{3} \\
& = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + (4 + a^{2}) x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} – 4 x_{1} x_{3} + 2 a x_{2} x_{3}
\end{aligned}
$$

于是可知，二次型 $f$ 对应的系数矩阵为：

$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
-2 & a & 4 + a^{2}
\end{bmatrix}
$$

接下来，根据对题目条件的不同挖掘和利用方式，我们有如下两种解法：

方法一：求系数矩阵的特征值

$$
|\lambda E – A| = \begin{vmatrix}
\lambda -2 & -1 & 2 \\
-1 & \lambda – 2 & -a \\
2 & -a & \lambda – 4 – a^{2}
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 2)^{2} (\lambda – 4 – a^{2}) + 4a – 4(\lambda – 2) – (\lambda – 4 – a^{2}) – a^{2} (\lambda – 2) = 0
$$

做到上面这一步，大家应该都发现了，该方法虽然能解本题，但是计算过程过于复杂，因此，本题应该还有其他计算量稍微少一些的求解方法。

方法二：利用系数矩阵的秩

由二次型 $f$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 可知，二次型矩阵 $A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
-2 & a & 4 + a^{2}
\end{bmatrix}$ 应该有两个为正数的特征值，还有一个为零的特征值，也就是说，系数矩阵 $A$ 是一个不满秩的矩阵，因此：

$$
|A| = 0
$$

即：

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
-2 & a & 4 + a^{2}
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
4(4 + a^{2}) – 4a – 8 – (4+a^{2}) – 2a^{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
4 + a^{2} – 4a = 0 \Rightarrow
$$

$$
(a – 2)^{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
a = 2
$$

综上可知，$a = 2$.

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