无穷小与有理化、积分、中值定理相结合的一道题目

一、题目题目 - 荒原之梦

当 $x \rightarrow 0$ 时,无穷小量:

$$
\begin{aligned}
& \alpha = \sqrt{1 + x \cos x} – \sqrt{1 + \sin x} \\
& \beta = \int _{0}^{e^{2x} – 1} \frac{\sin ^{2} t}{t} \mathrm{~d} t \\
& \gamma = \cos (\tan x) – \cos x
\end{aligned}
$$

的阶数由高到低次序为 ($\quad$)

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

$$
\begin{aligned}
\alpha & = \sqrt{1 + x \cos x} – \sqrt{1 + \sin x} \\ \\
& = \frac{ (\sqrt{1 + x \cos x} – \sqrt{1 + \sin x}) (\sqrt{1 + x \cos x} + \sqrt{1 + \sin x})}{\sqrt{1 + x \cos x} + \sqrt{1 + \sin x}} \\ \\
& = \frac{x \cos x – \sin x}{\sqrt{1 + x \cos x} + \sqrt{1 + \sin x}} \\ \\
& \sim \frac{1}{2} (x \cos x – \sin x)
\end{aligned}
$$

又因为:

$$
\begin{aligned}
x \cos x – \sin x \\ \\
& = \frac{x \cos x – \sin x}{x^{3}} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \\ \\
& = \frac{\cos x – x \sin x – \cos x}{3x^{2}} \\ \\
& = \frac{-x \sin x}{3x^{2}} = \frac{-1}{3}
\end{aligned}
$$

于是:

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\alpha} \\ \\
& \sim \frac{1}{2} (x \cos x – \sin x) \\ \\
& \sim \frac{1}{2} (\frac{-1}{3} x^{3}) \\ \\
& \sim \textcolor{springgreen}{\frac{-1}{6} x^{3}}
\end{aligned}
$$

错误的解法:

$$
\textcolor{orangered}{
\bcancel{
\begin{aligned}
\frac{1}{2} (x \cos x – \sin x) \\
& \sim \frac{1}{2} (x \cos x – x) \\
& \sim \frac{1}{2} x (\cos x – 1) \\
& \sim \frac{1}{2} x \cdot (- \frac{1}{2} x^{2}) \\
& \sim \frac{-1}{4} x^{3}
\end{aligned}
}
}
$$

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\beta} \\ \\
& = \int _{0}^{e^{2x} – 1} \frac{\sin ^{2} t}{t} \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int _{0}^{2x} \frac{t^{2}}{t} \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int _{0}^{2x} t \mathrm{~d} t \\ \\
& = \frac{1}{2} t^{2} \Big |_{0}^{2x} = \textcolor{springgreen}{2x^{2}}
\end{aligned}
$$

若令 $f(t) = \cos t$, 则 $f^{\prime} (t) = – \sin t$. 于是,根据中值定理可得:

$$
\frac{f(\tan x) – f(x)}{\tan x – x} = f^{\prime}(\xi) \Rightarrow
$$

$$
f(\tan x) – f(x) = f^{\prime}(\xi) (\tan x – x) \Rightarrow
$$

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\cos (\tan x) – \cos x} \\ \\
& = (- \sin \xi) (\tan x – x) \\ \\
& \textcolor{springgreen}{\sim \frac{-1}{3} x^{4}}
\end{aligned}
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时,无穷小量,的阶数由高到低得次序为:

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\gamma, \quad \alpha, \quad \beta
}
}
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress