当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了

一、题目

设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽x\}$, 则 $I={\iint }_D(x+y^2)\mathrm{d}\sigma =?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$x^2+y^2\le x\Rightarrow x^2+y^2-x\le 0\Rightarrow$$

$${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2\le \frac{1}{4}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow$$

$$\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],r\in [0,\cos \theta ]$$

根据积分区域的图象，可以很容易的判断出 $\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, 同时，由 $\cos (-\frac{\pi }{2})=\cos (\frac{\pi }{2})=0$, $\cos 0=1$ 这几个特殊点的取值，可以判断出 $r\in [0,\cos \theta ]$.

于是：

$$I={\iint }_D(r\cos \theta +r^2{\sin }^2\theta )rd\theta =$$

$$I={\iint }_D{r}^2\cos \theta d\theta +{\iint }_D^3{\sin }^2\theta dr=$$

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta {\int }_0^{\cos \theta }{r}^{2}dr+{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\theta {\int }_0^{{\cos }^2\theta }{r}^{3}dr=$$

$$I=\frac{2}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^4\theta d\theta +\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\cos }^2\theta ){\cos }^4\theta d\theta$$

$$I=\frac{2}{3}(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2})+\frac{1}{2}[(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2})-(\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2})]\Rightarrow$$

$$I=(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{6})(\frac{3}{4}\cdot \frac{\pi }{4})\Rightarrow$$

$$I=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{64}$$