成为拐点的本质要求是二阶导的正负性发生改变，而不是二阶导等于零

一、题目

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln x-x, & x \geqslant 1 \\ x^{2}-2 x, & x<1\end{array}\right.$, 则：

(A) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点

(B) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点

(C) $(1, f(1))$ 是 $y=f(x)$ 拐点

(D) $(1, f(1))$ 不是 $y=f(x)$ 拐点

难度评级：

二、解析

一阶导：

$$
f(x)^{\prime} = \begin{cases}
\frac{1}{x} – 1 < 0, x >1 \\
2x – 2 < 0, x < 1
\end{cases}
$$

因此，函数 $f(x)$ 单调递减，没有极值点。

二阶导：

$$
f(x)^{\prime \prime} = \begin{cases}
\frac{-1}{x^{2}} < 0, x >1 \\
2 > 0, x < 1
\end{cases}
$$

由于二阶导的正负性在 $x = 1$ 附近发生改变，因此，$x = 1$ 是 $f(x)$ 的拐点。

综上可知，本题应选 C.

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