标准型是特征值，规范型是正负 1

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是哪个？

(A) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(B) $z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(C) $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

(D) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$

难度评级：

二、解析

方法一：求二次型矩阵的特征值，用特征值的正负确定规范型

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] \Rightarrow|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda-1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda(\lambda-1)^{2}-2(\lambda-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)\left[\lambda^{2}(\lambda-1)-2\right]=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-\lambda-2\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-1
$$

于是可知，A 选项正确。

方法二：配方法

如果一个二次型很复杂，可以使用这里的偏导数法进行配方，由于本题中的二次型较简单，因此使用观察法进行配方即可。

$$
f=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3} \Rightarrow
$$

$$
f=\left(x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}\right)-x_{2}^{2}+\left(x_{3}^{2}-2 x_{2} x_{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
f=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(x_{2}^{2}+x_{3}\right)^{2}+2 x_{3}^{2} \Rightarrow
$$

令：

$$
z_{1}=x_{1}-x_{2}, z_{2}=x_{3}, z_{3}=x_{2}+x_{3}
$$

则规范型为：

$$
z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}
$$

因此，A 选项正确。

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