看清楚,这里说的不是原矩阵而是转置矩阵!

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置, 若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta_{t}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系, 则秩 $r(\boldsymbol{A})=?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由于 A 是 $m \times n$ 阶矩阵,因此说明在 $Ax = 0$ 中存在 $n$ 个未知数,如果此时基础解系中解向量的个数为 $t$, 则表名存在 $t$ 个自由未知数,$n – t$ 个非自由未知数,也即表名:

$$
r(A) = n – t
$$

但是,本题说的是 $A^{\top} x = 0$ 有 $t$ 个解向量,因此:

$$
r(A^{\top}) = m – t
$$

又因为:

$$
r(A) = r(A^{\top})
$$

于是:

$$
r(A) = m – t
$$


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