这个四阶行列式千万不要展开求解

一、题目

已知，多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^{4}$ 与 $x^{3}$ 的系数依次为：

(A) $-1,-1$
(B) $1,-1$
(C) $-1,1$
(D) 1,1

难度评级：

二、解析

参考资料汇总：
1. 《利用逆序求 n 阶行列式的值》
2. 《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》

必须所有行都出一个 $x$ 才能出现 $x^{4}$, 因此，对应的组合就是：

$$
a_{14} a_{23} a_{32} a_{41}
$$

又因为列标 $(4321)$ 的逆序数是 $6$, 因此，$x^{4}$ 的系数是：

$$
(-1)^{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = +1
$$

由于必须有一行不出 $x$ 才能得到 $x^{3}$, 因此，对应的组合就是：

$$
a_{11} a_{23} a_{32} a_{44}
$$

列标 $(1324)$ 对应的逆序数是 $1$, 于是 $x^{4}$ 的系数是：

$$
(-1)^{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = -1
$$

综上可知，B 选项正确。

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