判断函数是否可积的若干特例/反例

一、题目

下列命题中，正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积, $f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$, 则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$.

(B) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积, $g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积,则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积.

(C) 设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积.

(D) 设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] / \{x_{0}\}$ 连续且有界, $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点, 则 $F(x)=$ $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导.

难度评级：

二、解析

1. 为简洁起见，以下说法默认都是在题目对应选项给出的闭区间上进行的讨论；
2. 题干中的 “$[a, b] / \{x_{0}\}$” 表示在 $[a, b]$ 区间上，但不包含 $x_{0}$ 这个点。

解法一：矛盾法

若 $f(x)$ 可积，且 $f(x) + g(x)$ 可积，则必有 $[f(x) + g(x)] – f(x)$ 可积，但这与 $g(x)$ 不可积矛盾，因此，必然有 $f(x) + g(x)$ 不可积。于是可知，B 选项正确。

解法二：反例法

A 选项：

若：

$$
f(x) = \begin{cases}
0, & x \in [a, x_{0}) \cup (x_{0}, b] \\
1, & x = x_{0}
\end{cases}
$$

于是可知，此时 $f(x)$ 大于等于零且不恒等于零，但由于只有一个点不等于零，因此积分仍然等于零：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x = 0
$$

C 选项：

若：

$$
f(x) = \begin{cases}
-1, & x 为有理数 \\
1, & x 为无理数
\end{cases}
$$

于是可知，$f^{2}(x) = 1$ 是可积的，但是，$f(x)$ 本身不可积。

D 选项：

一点处的导数不存在表示在该点处不能找到一条切线。根据几何意义，如果这个点是跳跃间断点、震荡间断点或者无穷间断点，则切实无法在该点处找到一条切线。
但是，如果这个间断点是可去间断点，由于该点左右两侧的极限是相等的，因此，也可视作是“光滑”的，因此，在可去间断点处其实是可以确定一条切线的，也就是可导。

综上，只有 B 选项正确。

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