辨析由极限的不等式所能推出的结论

一、题目

下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$

(B) 若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$, $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在, 则 $A_{0}>B_{0}$

(C) 若存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$

(D) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$

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二、解析

A 选项：

$\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 存在，其实说的就是 $f(x_{0})$ 和 $g(x_{0})$ 存在，但是由 $f(x_{0}) > g(x_{0})$ 推不出在 $x_{0}$ 点的附近有 $f(x) \geqslant g(x)$ 的性质——由一点处的性质，推不出一个范围内的性质。

B 选项：

由该选项的条件能推出 $A_{0} \geqslant B_{0}$, 但是推不出 $A_{0} > B_{0}$

C 选项：

该选项没有说极限存在，因此，$\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 可能都不存在——极限不存在也就没有哪个极限更大这一结论了。

D 选项：

本选项表述正确。

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