周期函数的积分与积分位置无关：只与积分区间的宽度有关

一、题目

已知，$f(x)$ 为连续函数，$\phi$ 为常数，${\int }_0^{2\pi }f[\sin (x+\phi )]\mathrm{d}x=A{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$, 则 $A=?$

难度评级：

二、解析

解法一：化简找特例

已知：

$${\int }_0^{2\pi }f[\sin (x+\phi )]\mathrm{d}x=A{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

若令：

$$f(\sin x)=\sin x,f[\sin (x+\phi )]=\sin (x+\phi ),\phi =0$$

则，由函数图象可知：

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=A{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=2{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$A=2$$

解法二：利用周期函数和三角函数的性质

把等号左边的向等号右边的形式上凑，令：

$$t=x+\phi \Rightarrow t\in (\phi ,2\pi +\phi )\Rightarrow$$

则：

$${\int }_0^{2\pi }f[\sin (x+\phi )]\mathrm{d}x={\int }_{\phi }^{2\pi +\phi }f(\sin t)\mathrm{d}t$$

又因为 $f(\sin t)$ 的周期为 $2\pi$, 因此：

$${\int }_{\phi }^{2\pi +\phi }f(\sin t)\mathrm{d}t={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t$$

对于 ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t$, 我们令：

$$s=t-\pi \Rightarrow s\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

则：

$${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}f[\sin (s+\pi )]\mathrm{d}s=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sin s)\mathrm{d}s={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t$$

于是：

$${\int }_0^{2\pi }f[\sin (x+\phi )]\mathrm{d}x=2{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$A=2$$

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