这里有一个记忆等价无穷小公式的小技巧

一、题目题目 - 荒原之梦

已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小,则 $n=?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

小技巧 1:高阶的等价无穷小公式可以通过求导转变为低阶的等价无穷小公式:
$\left(x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}\right)^{\prime}$ $\Rightarrow$ $\left(1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\right)$

小技巧 2:等价无穷小的正负可以借助函数图像判断
例如,当 $x \rightarrow 0$ 时,由 $\cos x$ 的函数图像可知 $\cos x<1$, 因此:
$1-\cos x>0$

正式解题步骤:

$$
F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) d t \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=(x-\sin x)^{\prime} \cdot \ln (1+x-\sin x) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=(1-\cos x) \cdot \ln (1+x-\sin x) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{2} \cdot \ln \left(1+\frac{1}{6} x^{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{6} x^{3}=\frac{1}{12} x^{5} \Rightarrow
$$

$$
n=5+1=6
$$

注意:
$$
\textcolor{yellow}{
\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{6} x^{3} \neq \frac{1}{12} x^{6}
}
$$


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