一个函数既是奇函数又是周期函数,可能会有什么样的性质?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数,且 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$, $f(x+2)-$ $f(x)=f(2)$, 若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数,则 $f(1)=?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一:特例法

令:

$$
f(x)=0
$$

能满足:

$$
f(x+2)-f(x)=f(2)
$$

因此:

$$
f(1)=0
$$

解法二

解题方法:把所有已知条件对应的性质都写出来,并往问题要求解的式子的形式上凑。

$$
T=2 \Rightarrow f(x+2)=f(x) \Rightarrow
$$

$$
f(x+2)-f(x)=0
$$

又:

$$
f(x+2)-f(x)=f(2)
$$

于是:

$$
f(2)=0 \Rightarrow f(2)=-f(-2) \Rightarrow-f(-2)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(-2)=0 \Rightarrow
$$

令 $x=-1$, 则:

$$
f(x+2)-f(x)=f(2) \Rightarrow
$$

$$
f(+1)-f(-1)=0 \Rightarrow f(1)=-f(-1) \Rightarrow
$$

$$
f(1)+f(1)=0 \Rightarrow 2 f(1)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(1)=0
$$


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