一、前言 
本文将通过两道例题讲解如何用三角代换法求解被积函数分母上有“平方”套“平方”的积分。
题目 01
$$
I=\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 01
令：
$$
x=\tan t \Rightarrow 1+x^{2}=\frac{1}{\cos ^{2} t} \Rightarrow
$$
$$
\mathrm{~ d} x=\mathrm{~ d} (\tan t)=\frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
于是：
$$
I=\int \frac{1}{\left(\frac{1}{\cos ^{2} t}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{2} t}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow I=\int \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
又：
$$
\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow \cos ^{2} \alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2 \alpha)
$$
于是：
$$
I=\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2}\left[t+\frac{1}{2} \sin 2 t\right] \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} t+\frac{1}{4} \sin 2 t+c \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \arctan x+\frac{1}{2} \sin t \cos t+c \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \arctan x+\frac{1}{2} \sin (\arctan x) \cdot \cos (\arctan x) + C \Rightarrow
$$
又由 这篇文章 可知：
$$
\sin (\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
$$
$$
\cos (\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
$$
于是：
$$
I=\frac{1}{2} \arctan x+\frac{1}{2} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+C \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \arctan +\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C
$$
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