典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）

一、前言

本文中汇总了考研数学不定积分部分的典型例题，以及由荒原之梦网（zhaokaifeng.com）原创撰写的解题步骤。

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题目 01

已知 $\int f^{\prime }(\sqrt{x})\mathrm{d}x=x(e^{\sqrt{x}}+1)+C$, 则 $f(x)=?$

解析 01

$$\int f^{\prime }(\sqrt{x})\mathrm{d}x=x(e^{\sqrt{x}}+1)+C\Rightarrow$$

利用求导去积分符号：

$$f^{\prime }(\sqrt{x})={[x(e^{\sqrt{x}}+1)+C]}^{\prime }=$$

$$e^{\sqrt{x}}+1+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}=$$

$$e^{\sqrt{x}}+1+\frac{\sqrt{x}}{2}{e}^{\sqrt{x}}\Rightarrow$$

整体代换：

$$t=\sqrt{x}\Rightarrow f^{\prime }(t)=e^t+1+\frac{t}{2}{e}^t\Rightarrow$$

$$f(t)=e^t+t+\frac{1}{2}\int t{e}^t\mathrm{d}t$$

又：

$${(t{e}^t-e^t)}^{\prime }=e^t+t{e}^t-e^t=t{e}^t$$

于是：

$$f(t)=e^t+t+\frac{1}{2}(t{e}^t-e^t)+C\Rightarrow$$

$$f(t)=\frac{1}{2}(e^t+t{e}^t)+t+C\Rightarrow$$

$$f(t)=\frac{e^t}{2}(1+t)+t+C$$

即：

$$f(x)=\frac{e^x}{2}(1+x)+x+C$$

注意区分积分变量：

$$\int f^{\prime }(\sqrt{x})\mathrm{d}x\ne f(\sqrt{x})+C$$

$$\int f^{\prime }(\sqrt{x})\mathrm{d}(\sqrt{x})=f(\sqrt{x})+C$$