求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况

一、题目

已知，$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$, 则 $a = ?$, $b=?$

难度评级：

二、解析

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-e^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2 \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 a x+b-(2 x-2) e^{x^{2}-2 x}}{2 x}=2
$$

$$
x=0 \Rightarrow b+2=0 \Rightarrow b=-2
$$

再次洛必达运算：

$$
I = \frac{2 a-\left[2 e^{x^{2}-2 x}+(2 x-2)^{2} e^{x^{2}-2 x}\right]}{2} =2 \Rightarrow
$$

$$
x=0 \Rightarrow 2 a-2-4=4 \Rightarrow
$$

$$
2 a x=10 \Rightarrow a=5
$$

---